Un défi par semaine

Juillet 2015, 4e défi

Le 24 juillet 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (11)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 30 :

Compléter ce tableau avec les nombres entiers de $1$ à $9$ de sorte que la moyenne de chaque ligne et de chaque colonne soit la même.

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Solution du 3ème défi de Juillet :

Enoncé

La réponse est $6$ nombres.

Nous notons le nombre recherché sous la forme $\overline{abc}$, $a$, $b$ et $c$ étant les chiffres de ce nombre. Ce nombre est divisible par $45$ et par conséquent divisible par $5$ et $9$, ainsi le chiffre $c$ est $0$ ou $5$.

Si $c=0$ alors $c$ serait le plus petit chiffre. Pour que les chiffres forment une progression arithmétique nous aurions pour les deux autres chiffres la forme $r$ et $2r$ dans n’importe quel ordre ($r$ étant un nombre entier). Comme le nombre doit être un multiple de $9$, alors $r+2r=3r$ doit aussi être multiple de $9$ et par conséquent $r$ un multiple de $3$. Cependant, comme $2r\leq 9$, la seule valeur possible est $r=3$. Les nombres possibles sont donc : $360$ et $630$.

Si $c=5$ alors les deux possibilités pour les deux autres chiffres sont de la forme $5+r$ et $5+2r$ avec $r$ un entier positif ou négatif, ou de la forme $5-r$ et $5+r$ avec $r$ un entier strictement positif.

Dans la première possibilité, il faut que $5+5+r+5+2r=15+3r$ soit un multiple de $9$ et $0<5+2r\leq 9$, d’où $r=-2$ ou $r=1$. Dans ce cas les nombres cherchés sont $135$, $315$, $675$ et $765$.

Dans la seconde possibilité, il faut que $5+(5-r)+(5+r)=15$, ce qui n’est pas divisible par $9$, il n’y a donc pas de nombre correspondant à ce cas.

Il existe donc $6$ nombres : $360$, $630$, $135$, $315$, $675$ et $765$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juillet 2015, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - Ievgen Sosnytskyi / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

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  • Juillet 2015, 4ème défi

    le 25 juillet 2015 à 10:55, par ROUX

    Bon, ça m’a paru évident que la case qui est à elle toute seule une colonne soit emplie avec 5. Là, tout de suite, je ne sais plus pourquoi...
    Du coup, j’ai posé qu’il suffisait de répartir tous les écarts entiers non-nuls à 5, de -4 à 4.
    J’ai voulu essayer de ne pas tâtonner, c’est promis, je le jure... Mais... Bon...
    Alors, je me suis fabriqué un outil de tâtonnement rapide : j’ai découpé une feuille A4 en 8 A7 sur lesquels j’ai écrit les écarts entiers non-nuls de 4 à -4.
    Et cela a été très très rapide : la position de la paire (-4, 4) a été quasiment... Immédaniate.
    Mais ça reste du tâtonnement...

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