Un défi par semaine
Juillet 2015, 5e défi
Le 31 juillet 2015 Voir les commentaires (8)Lire l'article en
Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.
Semaine 31 :
On considère un nombre à deux chiffres et on multiplie les deux chiffres. Si le résultat est un nombre à un chiffre, on l’appelle l’« image » du nombre de départ. Si le résultat est un nombre à deux chiffres, on répète l’opération jusqu’à obtenir un nombre à un chiffre qui sera son « image ». Combien de nombres à deux chiffres ont pour « image » $8$ ?
Solution du 4ème défi de Juillet :
La somme des neuf nombres est $1+2+\cdots+9=45$. Appelons les nombres dans le tableau comme dans la figure ci-dessous. Alors la moyenne des nombres dans chaque ligne et colonne doit être égale à $i$.
Comme les colonnes ont la même moyenne on a
$a+b+c=d+e+f=\frac{3}{2}(g+h)=3i.$
On a alors
$i = 45-(a+b+c+d+e+f+g+h)$
$ = 45-(3i+3i+2i)$
$ = 45-8i,$
d’où $i=5$. Il nous faut donc deux triplets de nombres $(a,b,c)$ et $(d,e,f)$ disjoints et tels que, pour chaque triplet, la somme de ses éléments soit égale à $3i=15$. Donc $(a,b,c)$ et $(d,e,f)$ sont égaux à $(9,4,2)$ et $(8,6,1)$ dans un certain ordre. Avec ceci nous pouvons remplir le tableau :
Cette solution n’est pas unique.
Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.
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Pour citer cet article :
Ana Rechtman — «Juillet 2015, 5e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015
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le 31 juillet 2015 à 16:16, par ROUX