Un défi par semaine

Juillet 2016, 2e défi

Le 8 juillet 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (7)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 28 :

Chaque sommet d’un pentagone doit être mis en couleur. Nous disposons de $6$ couleurs différentes. Chaque diagonale doit avoir deux couleurs différentes à ses extrémités. Si nous ne prenons pas en compte les coloriages qui s’obtiennent l’un de l’autre par rotation, de combien de manières différentes peut-on colorier les sommets du pentagone ?

Solution du 1er défi de Juillet :

Enoncé

La réponse est $\frac{18}{7}$.

L’égalité

$6=\frac{a+b}{a-b}+\frac{a-b}{a+b}=\frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{(a-b)(a+b)}=\frac{2a^2+2b^2}{a^2-b^2}$

implique que $6a^2-6b^2=2a^2+2b^2$ ou $a^2=2b^2$. Nous avons donc $(a^2)^3=a^6=8b^6$, ainsi

$\frac{a^3+b^3}{a^3-b^3}+\frac{a^3-b^3}{a^3+b^3} = \frac{2a^6+2b^6}{a^6-b^6}$

$= \frac{18b^6}{7b^6}$

$ = \frac{18}{7}.$

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juillet 2016, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Commentaire sur l'article

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  • Juillet 2016, 2e défi

    le 8 juillet 2016 à 19:07, par mesmaker

    Voilà la raison de ma réponse 6 ! qui est fausse mais qui aide à chercher la solution.

    J’ai cru que l’on ne pouvait utiliser que 5 couleurs alors que l’on peut colorier les sommets avec seulement trois ou quatre couleurs.

    Cependant, si je me limite à 5 couleurs, alors je dois les choisir parmi les six ce qui me donne 6 choix possibles. Un fois les cinq couleurs choisies, j’ai 5 ! façons de les placer sur les 5 sommets. Sauf qu’il faut diviser cela par cinq car pour chaque cas il y a cinq permutations possibles. Ce qui donne en fait 6*4 ! = 144 (et non 6 !).

    Il faut maintenant calculer quand il y a moins de 5 couleurs. Une couleur est évidemment impossible (trivial), deux de même car le sommet de couleur différente serait relié par deux diagonales à deux sommets ayant la même couleur.

    Trois couleurs est possible avec le cas B, B, R, R, V (B=bleu, R=rouge, V=vert) ou B, V, V, R, B. Il y en a d’autres combinaisons et bien sûr on peut choisir trois autres couleurs parmi les 6 possibles. Il faut aussi traiter les cas avec 4 couleurs.

    Bref beaucoup de cas et sous-cas. Par fainéantise, j’aurai tendance à faire confiance à Daniate pour sa réponse de 624.

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