Un défi par semaine

Juillet 2016, 2e défi

Le 8 juillet 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (7)
Lire l'article en  

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 28 :

Chaque sommet d’un pentagone doit être mis en couleur. Nous disposons de $6$ couleurs différentes. Chaque diagonale doit avoir deux couleurs différentes à ses extrémités. Si nous ne prenons pas en compte les coloriages qui s’obtiennent l’un de l’autre par rotation, de combien de manières différentes peut-on colorier les sommets du pentagone ?

Solution du 1er défi de Juillet :

Enoncé

La réponse est $\frac{18}{7}$.

L’égalité

$6=\frac{a+b}{a-b}+\frac{a-b}{a+b}=\frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{(a-b)(a+b)}=\frac{2a^2+2b^2}{a^2-b^2}$

implique que $6a^2-6b^2=2a^2+2b^2$ ou $a^2=2b^2$. Nous avons donc $(a^2)^3=a^6=8b^6$, ainsi

$\frac{a^3+b^3}{a^3-b^3}+\frac{a^3-b^3}{a^3+b^3} = \frac{2a^6+2b^6}{a^6-b^6}$

$= \frac{18b^6}{7b^6}$

$ = \frac{18}{7}.$

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Partager cet article

Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juillet 2016, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Commentaire sur l'article

Voir tous les messages - Retourner à l'article

  • Juillet 2016, 2e défi

    le 8 juillet 2016 à 20:25, par Daniate

    Bonsoir, je ne reviens pas sur 5 couleurs, mais on peut raccourcir pour 3 et 4. On remarque qu’une couleur ne peut se répéter qu’une fois et sur un sommet adjacent. Avec 3 couleurs on a 2 sommets de couleur 1, 2 sommets couleur 2 et un sommet couleur 3 , ce sommet nous sert de balise empêchant les rotations. Il y a donc 6*5*4=120 possibilités. Pour 4 couleurs on aura 2 sommets adjacents de couleur 1 qui servent de balises et les autres de couleurs 2,3 et 4 soit 6*5*4*3=360 possibilités avec en tout 144+120+360=624 et bonnes vacances aux paresseux et aux autres.

    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?