Un défi par semaine

Juillet 2017, 1er défi

Le 7 juillet 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (7)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 27 :

Un train longe Alex et Anne. Ceux-ci se mettent à marcher (à la même vitesse) au moment où le train arrive à leur hauteur et s’arrêtent quand la fin du dernier wagon passe à leur hauteur. Si, dans cet intervalle, Alex a marché $45$ m et Anne $30$ m, et le train voyage à vitesse constante, quelle est la longueur du train ?

Solution du 5e défi de Juin :

Enoncé

La réponse est $3$.

Notons $F$ la projection de $E$ sur le segment $[AB]$, c’est-à-dire $[EF]$ est perpendiculaire à $[AB]$.

PNG - 45.7 ko

Alors comme les triangles $CDE$ et $CDF$ ont la base $[CD]$ en commun et, comme $CD$ est parallèle à $FE$, ils ont même hauteur, ils ont donc même aire.

Ensuite, par symétrie, on a $BF=2\times AF$, et donc on a $AF=FC=CB$. Par conséquent l’aire de $CDA$ est le double de l’aire de $CDF$ et l’aire de $CDB$ est égale à l’aire de $CDF$. Par conséquent, on a

$\mathrm{Aire}(ABD) = \mathrm{Aire}(CDA)+\mathrm{Aire}(CDB)$

$ = 2\times \mathrm{Aire}(CDF)+\mathrm{Aire}(CDF)$

$= 3\times \mathrm{Aire}(CDF)=3\times \mathrm{Aire}(CDE).$

Et donc le rapport $\dfrac{\mathrm{Aire}(ABD)}{\mathrm{Aire}(CDE)}$ vaut $3$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juillet 2017, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - BRIGITTE MERZ/LOOK/PHOTONONSTOP

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  • Juillet 2017, 1er défi

    le 7 juillet 2017 à 08:44, par Al_louarn

    Alex parcourt $45$m pendant le temps $a$, et Anne parcourt $30$m pendant le temps $b$. Mais ils marchent à la même vitesse donc $\frac{45}{a}=\frac{30}{b}$, ce qui nous donne une première équation : $\frac{3}{2a}=\frac{1}{b}$.

    D’autre part Alex a parcouru une plus grande distance qu’Anne, donc il avance dans le même sens que le train alors qu’Anne marche dans le sens opposé.
    Si $x$ est la longueur du train, alors pendant le temps $a$, il parcourt la distance $45 + x$, donc sa vitesse est $\frac{45+x}{a}$.
    Mais pendant le temps $b$ il parcourt la distance $x-30$ donc sa vitesse est $\frac{x-30}{b}$.
    D’où la seconde équation : $\frac{45+x}{a} = \frac{x-30}{b}$.

    En remplaçant $\frac{1}{b}$ par $\frac{3}{2a}$ dans la seconde équation on obtient $\frac{45+x}{a} = \frac{3(x-30)}{2a}$, qui se simplifie en $2(45+x)=3(x-30)$, et donne finalement $x=180$ mètres.

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