Un défi par semaine

Juillet 2017, 1er défi

Le 7 juillet 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (7)
Lire l'article en  

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 27 :

Un train longe Alex et Anne. Ceux-ci se mettent à marcher (à la même vitesse) au moment où le train arrive à leur hauteur et s’arrêtent quand la fin du dernier wagon passe à leur hauteur. Si, dans cet intervalle, Alex a marché $45$ m et Anne $30$ m, et le train voyage à vitesse constante, quelle est la longueur du train ?

Solution du 5e défi de Juin :

Enoncé

La réponse est $3$.

Notons $F$ la projection de $E$ sur le segment $[AB]$, c’est-à-dire $[EF]$ est perpendiculaire à $[AB]$.

PNG - 45.7 ko

Alors comme les triangles $CDE$ et $CDF$ ont la base $[CD]$ en commun et, comme $CD$ est parallèle à $FE$, ils ont même hauteur, ils ont donc même aire.

Ensuite, par symétrie, on a $BF=2\times AF$, et donc on a $AF=FC=CB$. Par conséquent l’aire de $CDA$ est le double de l’aire de $CDF$ et l’aire de $CDB$ est égale à l’aire de $CDF$. Par conséquent, on a

$\mathrm{Aire}(ABD) = \mathrm{Aire}(CDA)+\mathrm{Aire}(CDB)$

$ = 2\times \mathrm{Aire}(CDF)+\mathrm{Aire}(CDF)$

$= 3\times \mathrm{Aire}(CDF)=3\times \mathrm{Aire}(CDE).$

Et donc le rapport $\dfrac{\mathrm{Aire}(ABD)}{\mathrm{Aire}(CDE)}$ vaut $3$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

Partager cet article

Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juillet 2017, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - BRIGITTE MERZ/LOOK/PHOTONONSTOP

Commentaire sur l'article

Voir tous les messages - Retourner à l'article

  • Juillet 2017, 1er défi

    le 7 juillet 2017 à 09:48, par drai.david

    Étrangement, mes signes « plus » (+) n’apparaissent pas dans mon message précédent, alors qu’ils apparaissent dans la prévisualisation...
    Et de toute façon, comme je ne sais pas comment écrire des équations, ma présentation est très moche.
    Si quelqu’un pouvait me donner quelques conseils, ce serait avec grand plaisir !
    Je retente donc un envoi, sans garantie de plus de succès...

    Soit t le temps de parcours d’Anne. Le temps de parcours d’Alex est donc de 3t/2.
    Soit x la longueur du train.
    Le train a parcouru (x-30) mètres en t secondes, et (x +45) mètres en 3t/2 secondes.
    Comme le train a une vitesse constante, il y a proportionnalité entre les distances parcourues et les temps de parcours. D’où, par égalité des produits en croix :
    (x-30).3t/2 = (x +45)t.
    On simplifie par t et on trouve x = 180.

    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?