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Un défi par semaine

Juillet 2017, 2e défi

Le 14 juillet 2017 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (5)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 28 :

Combien de triplets $(a,b,c)$ de nombres entiers satisfont : $1\leq a\leq b\leq c\leq 10$ ?

Solution du 1er défi de Juillet :

Enoncé

La réponse est $180$m.

L’écart entre les deux distances ne peut s’expliquer que par le fait qu’Alex marche dans le sens du train (de telle sorte que celui-ci met plus de temps à le dépasser) alors qu’Anne va en sens inverse.

Le problème ne dépend manifestement pas de l’endroit où se trouvent Alex et Anne au début de l’expérience (ils marcheront la même distance quel que soit leur point de départ). Supposons pour simplifier l’explication qu’ils partent exactement du même point. En particulier, ils commencent à marcher en même temps.

Entre le moment où Anne arrête de marcher et celui où Alex arrête de marcher, l’arrière du train couvre l’intervalle qui sépare la position finale d’Anne et celle d’Alex, qui sont distantes de $30 + 45 = 75\,\mathrm{m}$. Dans cet intervalle, Alex (qui était le seul à marcher) a parcouru $15\,\mathrm{m}$. On peut en déduire que le train va $\frac{75}{15} = 5$ fois plus vite que les humains.

En particulier, dans l’intervalle pendant lequel Anne marchait, le train a parcouru $5 \times 30 = 150\,\mathrm{m}$. Puisqu’Anne a pendant ce temps avancé de $30\,\mathrm{m}$ en sens opposé, qu’elle était à l’avant du train au début et à l’arrière à la fin, on peut en déduire que la longueur totale du train est de $150+30=180\,\mathrm{m}$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

Commentaire sur l'article

Juillet 2017, 2e défi

le 14 juillet 2017 à 12:21, par Niak

Les choix possibles pour $(a,b,c)$ correspondent exactement aux multi-ensembles de taille $3$ dont les éléments sont choisis parmi l’ensemble $\{1,\ldots,10\}$ de taille $10$.
Il y en a donc ${{10 + 3 - 1}\choose 3} = 220$.
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Juillet 2017, 2e défi

le 14 juillet 2017 à 16:50, par orion8

Oui, cela revient à choisir $3$ objets dans l’ensemble $\left\{1~;2~;3~;...;10~;|~;||\right\}$, qui comprend $12$ éléments.
Soit on tombe sur $3$ nombres distincts,
soit sur, par exemple, $\left\{1~;5~;|\right\}$ et on convient qu’alors on a $2$ fois le premier nombre,
soit sur, par exemple, $\left\{1~;5~;||\right\}$ et on convient qu’alors on a $2$ fois le deuxième nombre,
soit enfin sur, par exemple, $\left\{1~;|~;||\right\}$ et on convient qu’alors on a $3$ fois le nombre.
C’est aussi le nombre d’applications croissantes, au sens large, de $\left\{1~;2~;3\right\}$ dans $\left\{1~;2~;3~;...;10\right\}$.
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Juillet 2017, 2e défi

le 14 juillet 2017 à 18:16, par Niak

Absolument, encore une autre façon de le voir avec des points et des barres : on insère $3$ barres parmi $9$ points noirs (comme on commence à $1$, j’ai ajouté un point « virtuel » blanc au début pour faciliter la lecture).

$\ \circ{} \bullet{} \bullet{} \mid{} \bullet{} \bullet{} \mid{} \bullet{} \bullet{} \mid{} \bullet{} \bullet{} \bullet{} \longrightarrow{} (3,5,7)$

$\ \circ{} \mid{}\mid{} \bullet{} \bullet{} \bullet{} \bullet{} \bullet{} \bullet{} \bullet{} \bullet{} \bullet{} \mid{} \longrightarrow{} (1,1,10)$

D’où ${9+3} \choose 3$ choix de positions pour les barres.
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Juillet 2017, 2e défi

le 15 juillet 2017 à 09:19, par ROUX

Pour (a,10,10), il y a 10 triplets.
Pour (a, 9,10), il y en a 9.
Etc.
Pour (a,9,9), il y a 9 triplets.
Pour (a,8,9), il y en a 8.
Etc.
Donc le nombre de triplets est la somme des sommes des entiers de 1 à 10.
La somme des entiers de 1 à n est égale à n (n+1)/2 qui se développe, pour une fois, en n^2/2 + n/2.
On trouve la formule de la somme des carrés dans la Toile dans le site de Gérard Guillemin et on n’a pas oublié celle de la somme des entiers.
L’application numérique donne 220.
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Juillet 2017, 2e défi

le 15 juillet 2017 à 18:53, par ROUX

Oups...
Gérard Villemin est l’écriture correcte 😉
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