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• Juillet 2018, 1er défi

  le 6 de julio de 2018 à 09:50, par Al_louarn

  Rappelons qu’un nombre est multiple de $11$ si et seulement si la différence entre la somme de ses chiffres de rang pair et la somme de ses chiffres de rang impair est un multiple de $11$.
  Il faut donc répartir les cinq chiffres en deux ensembles $A$ et $B$ de sommes respectives $a$ et $b$ telles que $a \geq b$ et $a-b=11k$, avec $k \geq 0$, et de plus $A$ doit contenir $2$ ou $3$ nombres.
  Pour chaque partition obtenue, il y a $2!=2$ permutations possibles des chiffres de rang pair et $3!=6$ permutations possibles des chiffres de rang impair, donc $2 \times 6 = 12$ combinaisons possibles au total.
  On observe que $a+b=1+2+4+7+9=23$ donc en additionnant les équations on trouve $2a=23+11k$. On voit que $23+11k$ est pair donc $k$ est impair.
  Mais $k < 3$ car $a-b<23$ et $11 \times 3 = 33$, donc la seule possibilité est $k=1$.
  Alors $2a=34$, soit $a=17$.
  Si $7$ n’est pas dans $A$ alors on obtient au mieux $a=9+4+2=15$, trop petit. Donc $A$ contient $7$, et a fortiori il contient aussi $9$.
  Pour arriver à $17$ il faut encore ajouter $1$. On a donc $A=\{1,7,9\}$ pour les chiffres de rang impair, et $B=\{2,4\}$ pour les chiffres de rang pair.
  Comme c’est la seule partition possible, la réponse est donc $12$ nombres :

  $12749 = 11 \times 1159$
  $12947 = 11 \times 1177$
  etc.

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