Un défi par semaine

Juillet 2018, 4e défi

Le 27 juillet 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (12)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 30

Trouver tous les nombres premiers $p$, $q$, $r$ tels que
\[\frac{p}{q}- \frac{4}{r+1}=1.\]

Solution du 3e défi de Juillet :

Enoncé

La réponse est : $62$ triangles.

Comme les triangles ne se superposent pas, on sait que la
somme des angles intérieurs de tous les triangles est égale à la somme des angles formés en chacun des $34$ sommets. Pour chaque coin $P$ du carré, la somme des angles en $P$ est $90^{\circ}$. Pour chaque point intérieur $Q$, la somme des angles en $Q$ est $360^{\circ}$. Donc, la somme de tous les angles de tous les triangles est
$4(90^{\circ})+30(360^{\circ})=62(180^{\circ})$. Comme la somme des angles intérieurs d’un triangle est $180^{\circ}$, on en conclut qu’il y a $62$ triangles.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juillet 2018, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

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  • Juillet 2018, 4e défi

    le 27 juillet 2018 à 10:51, par mong

    on change d’approche, en gardant le même principe
    pour que la somme des 2 fractions soit entière, les dénominateurs doivent être des multiples :
    (r+1) = nq avec n entier
    => p/q - 4/nq = 1
    => p - q = 4/n
    => n = 1, 2 ou 4
    r = q - 1 ou r = 2q - 1 ou r = 4q - 1


    Si n = 4, p = 3 , q= 2, r = 7


    Si n = 2 :
    r et p doivent être premiers donc
    2q - 1 doit être premier
    q + 2 doit être premier
    exemple : q = 3 => r = 7, p = 5


    Si n = 4 :
    4q - 1 doit être premier
    q + 4 doit être premier
    exemple : q = 3, r = 5, p = 7


    existe t-il une méthode pour trouver ces nombres ??

    Répondre à ce message

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