Un défi par semaine

Juillet 2020, 3e défi

El 17 julio 2020  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (5)
Leer el artículo en  

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 29 On note $f(a,b)$ la somme des entiers compris entre $a$ et $b$ (inclus). Par exemple $f(2,4) = 2+3+4=9$.

Combien vaut $f(133, 533)$?

Solution du 2e défi de juillet :

Enoncé

La réponse est : $35$ m.

Considérons le triangle $ABC$. Par le théorème de Pythagore, on a $AB^2+BC^2=AC^2=85$ m$^2$.

Comme les longueurs $AB$ et $BC$ sont des nombres entiers, on cherche à décomposer $85$ comme somme de deux carrés. Il n’y a que deux possibilités, à savoir $85=9^2+2^2=7^2+6^2$.

Comme $CDE$ est aussi rectangle avec $CE^2=85$ m$^2$, par le même raisonnement on voit que $CD$ et $DE$ satisfont la même propriété.

Comme les longueurs $AB, BC, CD$ et $DE$ sont distinctes, on en déduit qu’elles valent (dans le désordre) $2$, $6$, $7$ et $9$, et en particulier

$AB+BC+CD+DE=2+6+7+9=24$ m.

Il reste à déterminer $EF+FA$.

Comme le triangle $EFA$ est non plat, on a $EF+FA>EA=\sqrt{85}$ m.

Comme $EF$ et $FA$ sont des longueurs entières on a donc $EF+FA\ge 10$ m.

Les décompositions possibles comme somme de deux entiers de 10 sont $10=9+1=8+2=7+3=6+4=5+5$.

Dans les quatre premiers cas, la décomposition fait apparaître une longueur déjà prise par $AB, BC, CD$ ou $DE$.

Dans le dernier cas ($10=5+5$), on a $EF=FA$ ce qui n’est pas possible.

On a donc $EF+FA\ge 11$ m. Dans ce cas, on peut avoir par exemple $EF=8$ m et $FA=3$ m.

Par conséquent le périmètre de $ABCDEF$ est d’au moins $24+11=35$ m.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

Comparte este artículo

Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Juillet 2020, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Comentario sobre el artículo

  • Juillet 2020, 3e défi

    le 17 de julio de 2020 à 08:31, par François

    On a $f(a,b) = \frac {(a+b)(b-a+1)} {2} $, donc ici $f(133,533) = 133533$
    Étonnant non ?

    Répondre à ce message
    • Juillet 2020, 3e défi

      le 17 de julio de 2020 à 14:25, par ROUX

      Défi bis: existe-t-il d’autres couples d’entiers (a,b) tels que la somme des entiers entre a et b inclus s’écrive comme la suite des chiffres de a et b?
      En d’autres termes quelle stratégie a été adoptée pour poser ce défi?

      Répondre à ce message
  • Juillet 2020, 3e défi

    le 17 de julio de 2020 à 15:15, par François

    Oui il y en a plein. Peut-être une infinité. Par exemple $f(7,119) = 7119$, $f(78,403) = 78403$, $f(178,623) =178623)$, etc ...
    Pour les trouver, en prenant $b$ à $n $ chiffres, j’écris $(a + b)(b - a + 1) = 2(b + 10^{n}a)$ ce qui donne une équation du second degrés en $b$ : $b^2 - b - a^2 + a - 2.10^na = 0$ de discriminant $\Delta = (2a -1)^2 + 8.10^na$. Si $\Delta$ est un carré parfait pour une valeur de $a$ alors $b = \frac {1 + \sqrt(\Delta)} {2}$ à condition que $10^n \leq b < 10^{n+1}$.
    Pour $n = 3$ j’ai trouvé $5$ solutions ; pour $n = 4$, $10$ solutions ; pour $n=5$, $8$ solutions ; pour $n=6$, $56$ solutions etc ...

    Répondre à ce message
    • Juillet 2020, 3e défi

      le 17 de julio de 2020 à 15:30, par Niak

      Il y en a en effet une infinité. Par exemple, il n’est pas difficile de vérifier que c’est vrai pour tout $a=133\cdots3$ et $b=533\cdots3$ de même taille. C’est aussi vrai pour la famille $a=177\cdots78$ et $b=622\cdots23$.

      Répondre à ce message
    • Juillet 2020, 3e défi

      le 18 de julio de 2020 à 18:03, par ROUX

      Merci beaucoup!!!

      Répondre à ce message

Dejar un comentario

Foro sólo para inscritos

Para participar en este foro, debe registrarte previamente. Gracias por indicar a continuación el identificador personal que se le ha suministrado. Si no está inscrito/a, debe inscribirse.

Conexióninscribirse¿contraseña olvidada?

La traducción del sitio del francés al castellano se realiza gracias al apoyo de diversas instituciones de matemáticas de América Latina.