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Un défi par semaine

Juillet 2020, 3e défi

El 17 julio 2020 - Escrito por Ana Rechtman Ver los comentarios (5)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 29 On note $f(a,b)$ la somme des entiers compris entre $a$ et $b$ (inclus). Par exemple $f(2,4) = 2+3+4=9$.

Combien vaut $f(133, 533)$?

Solution du 2e défi de juillet :

Enoncé

La réponse est : $35$ m.

Considérons le triangle $ABC$. Par le théorème de Pythagore, on a $AB^2+BC^2=AC^2=85$ m$^2$.

Comme les longueurs $AB$ et $BC$ sont des nombres entiers, on cherche à décomposer $85$ comme somme de deux carrés. Il n’y a que deux possibilités, à savoir $85=9^2+2^2=7^2+6^2$.

Comme $CDE$ est aussi rectangle avec $CE^2=85$ m$^2$, par le même raisonnement on voit que $CD$ et $DE$ satisfont la même propriété.

Comme les longueurs $AB, BC, CD$ et $DE$ sont distinctes, on en déduit qu’elles valent (dans le désordre) $2$, $6$, $7$ et $9$, et en particulier

$AB+BC+CD+DE=2+6+7+9=24$ m.

Il reste à déterminer $EF+FA$.

Comme le triangle $EFA$ est non plat, on a $EF+FA>EA=\sqrt{85}$ m.

Comme $EF$ et $FA$ sont des longueurs entières on a donc $EF+FA\ge 10$ m.

Les décompositions possibles comme somme de deux entiers de 10 sont $10=9+1=8+2=7+3=6+4=5+5$.

Dans les quatre premiers cas, la décomposition fait apparaître une longueur déjà prise par $AB, BC, CD$ ou $DE$.

Dans le dernier cas ($10=5+5$), on a $EF=FA$ ce qui n’est pas possible.

On a donc $EF+FA\ge 11$ m. Dans ce cas, on peut avoir par exemple $EF=8$ m et $FA=3$ m.

Par conséquent le périmètre de $ABCDEF$ est d’au moins $24+11=35$ m.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Juillet 2020, 3e défi

le 17 de julio de 2020 à 08:31, par François

On a $f(a,b) = \frac {(a+b)(b-a+1)} {2} $, donc ici $f(133,533) = 133533$
Étonnant non ?
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Juillet 2020, 3e défi

le 17 de julio de 2020 à 14:25, par ROUX

Défi bis: existe-t-il d’autres couples d’entiers (a,b) tels que la somme des entiers entre a et b inclus s’écrive comme la suite des chiffres de a et b?
En d’autres termes quelle stratégie a été adoptée pour poser ce défi?
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Juillet 2020, 3e défi

le 17 de julio de 2020 à 15:15, par François

Oui il y en a plein. Peut-être une infinité. Par exemple $f(7,119) = 7119$, $f(78,403) = 78403$, $f(178,623) =178623)$, etc ...
Pour les trouver, en prenant $b$ à $n $ chiffres, j’écris $(a + b)(b - a + 1) = 2(b + 10^{n}a)$ ce qui donne une équation du second degrés en $b$ : $b^2 - b - a^2 + a - 2.10^na = 0$ de discriminant $\Delta = (2a -1)^2 + 8.10^na$. Si $\Delta$ est un carré parfait pour une valeur de $a$ alors $b = \frac {1 + \sqrt(\Delta)} {2}$ à condition que $10^n \leq b < 10^{n+1}$.
Pour $n = 3$ j’ai trouvé $5$ solutions ; pour $n = 4$, $10$ solutions ; pour $n=5$, $8$ solutions ; pour $n=6$, $56$ solutions etc ...
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Juillet 2020, 3e défi

le 17 de julio de 2020 à 15:30, par Niak

Il y en a en effet une infinité. Par exemple, il n’est pas difficile de vérifier que c’est vrai pour tout $a=133\cdots3$ et $b=533\cdots3$ de même taille. C’est aussi vrai pour la famille $a=177\cdots78$ et $b=622\cdots23$.
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Juillet 2020, 3e défi

le 18 de julio de 2020 à 18:03, par ROUX

Merci beaucoup!!!
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