Enoncé

La réponse est : $35$ m.

Considérons le triangle $ABC$. Par le théorème de Pythagore, on a $AB^2+BC^2=AC^2=85$ m$^2$.

Comme les longueurs $AB$ et $BC$ sont des nombres entiers, on cherche à décomposer $85$ comme somme de deux carrés. Il n’y a que deux possibilités, à savoir $85=9^2+2^2=7^2+6^2$.

Comme $CDE$ est aussi rectangle avec $CE^2=85$ m$^2$, par le même raisonnement on voit que $CD$ et $DE$ satisfont la même propriété.

Comme les longueurs $AB, BC, CD$ et $DE$ sont distinctes, on en déduit qu’elles valent (dans le désordre) $2$, $6$, $7$ et $9$, et en particulier

$AB+BC+CD+DE=2+6+7+9=24$ m.

Il reste à déterminer $EF+FA$.

Comme le triangle $EFA$ est non plat, on a $EF+FA>EA=\sqrt{85}$ m.

Comme $EF$ et $FA$ sont des longueurs entières on a donc $EF+FA\ge 10$ m.

Les décompositions possibles comme somme de deux entiers de 10 sont $10=9+1=8+2=7+3=6+4=5+5$.

Dans les quatre premiers cas, la décomposition fait apparaître une longueur déjà prise par $AB, BC, CD$ ou $DE$.

Dans le dernier cas ($10=5+5$), on a $EF=FA$ ce qui n’est pas possible.

On a donc $EF+FA\ge 11$ m. Dans ce cas, on peut avoir par exemple $EF=8$ m et $FA=3$ m.

Par conséquent le périmètre de $ABCDEF$ est d’au moins $24+11=35$ m.