Enoncé

La réponse est : $133\,533$.

On propose deux solutions (qui heureusement donnent le même résultat !).

Solution 1: Pour tout entier $b$, on a \[f(1,b) = 1+2+\dots+b = \frac{b(b+1)}2\].
On a alors
\[ \begin{align*} f(133,533)&=133+134+135+\dots+532+533 \\ &=1+2+\dots + 532+533 - (1+2+\dots+131+132)\\ &= \frac{533\times534}2 - \frac{132\times133}2 \\ &= 142\,311 - 8778 \\ &= 133\,533. \end{align*}\]

Solution 2:
On pose $a=133$. On considère alors la progression arithmétique $a, a+1, a+2, \dots, a+400$.
La somme qu’on veut calculer est alors
\[\begin{align*} 133+ 134+\cdots+533 & = 401a+(0+1+2+\cdots+ 400)\\ &= 401a+200\times401\\ & = 401(a+200)\\ &=401(133+200)\\ &=401\times333\\ &=133\,533. \end{align*}\]