Défis du calendrier mathématique Retour à la rubrique

Un défi par semaine

Juillet 2020, 5e défi

Le 31 juillet 2020 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
Lire l'article en

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 31 Trois pas d’Abdoul sont aussi longs que cinq pas de son fils. Quand Abdoul fait six pas, son fils a le temps d’en faire sept. Si son fils a déjà marché $30$ pas devant lui et continue de marcher, combien de pas doit faire Abdoul pour le rattraper ?

Solution du 4e défi de juillet :

Enoncé

La réponse est : Non.

Si un nombre entier est pair, son carré est divisible par $4$, puisque $(2k)^2=4k^2$.

D’autre part si un nombre est impair, son carré est de la forme $(2k+1)^2=4k^2+4k+1$, et donc quand on le divise par $4$, il reste 1. En résumé, quand on divise par 4 le carré d’un nombre entier il reste toujours 0 ou 1.

Mais quand on divise $2019$ par 4, il reste 3 (en effet on a $2019= 504\times 4+3$).

De plus, en séparant les quatre derniers chiffres du début du nombre, tout nombre antique est de la forme $10\,000k+2019$.

Comme $10\,000$ est divisible par $4$, on en déduit que le reste de la division par 4 de n’importe quel nombre antique est 3.

Par conséquent il ne peut être le carré d’un entier.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

Commentaire sur l'article

Juillet 2020, 5e défi

le 31 juillet 2020 à 08:41, par Al_louarn

La longueur du pas d’Abdoul $d_A$ et celle du pas de son fils $d_F$ vérifient $3d_A=5d_F$ d’où $\dfrac{d_F}{d_A}=\dfrac{3}{5}$.
La vitesse d’Abdoul $v_A$ et celle de son fils $v_F$ vérifient $\dfrac{6d_A}{v_A}=\dfrac{7d_F}{v_F}$ d’où $\dfrac{v_F}{v_A}=\dfrac{7d_F}{6d_A}=\dfrac{7 \times 3}{6 \times 5}=\dfrac{7}{10}$.
Le temps que mettra Abdoul pour rattraper son fils en $x$ pas est $\dfrac{xd_A}{v_A}$.
Pendant ce temps son fils aura parcouru la distance $xd_A-30d_F$ à la vitesse $v_F$.
D’où :
$\dfrac{xd_A-30d_F}{v_F}=\dfrac{xd_A}{v_A}$
$xd_A-30d_F=\dfrac{v_F}{v_A}xd_A$
$x=30\dfrac{d_F}{d_A}\times\dfrac{1}{1-\dfrac{v_F}{v_A}}$
$x=60$ pas
Répondre à ce message

Juillet 2020, 5e défi

le 31 juillet 2020 à 09:09, par Blaxapate

Quand Abdoul fait 6 pas son fils en fait 7. 6 pas d’Abdoul font 10 pas de son fils. Donc quand Abdoul fait 6 pas, il rattrappe son fils de 3 de ses petits pas. Comme il a 10 fois 3 pas d’avance, Abdoul doit faire 10 fois 6 pas.
Répondre à ce message

Juillet 2020, 5e défi

le 31 juillet 2020 à 10:47, par Al_louarn

Je sentais bien qu’il y avait plus simple. Merci !
Répondre à ce message

Juillet 2020, 5e défi

le 31 juillet 2020 à 12:01, par ROUX

Longueur d’un pas de Abdoul : A.
Longueur d’un pas de son fils : F.
On a 3A=5F pour la longueur et pendant que Abdoul fait 6A soit 2×3A soit 2×5F soit 10F son fils fait 7F.
Ouf, Abdoul finira bien par rattraper son fils.
Chaque fois que Abdoul parcourt une distance de 10F il diminue l’écart de 3F.
Cet écart est initialement de 30F donc Abdoul doit parcourir une distance de 100F soit 100×(3A/5) soit 60A.
Abdoul doit faire 60 de ses pas.
Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexion | s’inscrire | mot de passe oublié ?

L'auteur

Ana Rechtman

Un défi par semaine

Juillet 2020, 5e défi

Solution du 4e défi de juillet :

Commentaire sur l'article