Défis du calendrier mathématique Retour à la rubrique

Un défi par semaine

Juillet 2021, 1er défi

Le 2 juillet 2021 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (7)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : « Le ciel dans tous ses états ».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette aventure.

Semaine 26

Quelle est la somme des sept angles indiqués ?

Solution du 4e défi de juin :

Enoncé

La réponse est :

Remarquons que, quelle que soit la façon dont on place les entiers, on obtiendra automatiquement :

le total $15$ comme somme des cinq entiers ;

les totaux $n$ de $1$ à $5$ comme somme d’un seul entier, à savoir $n$ lui-même ;

les totaux de $10$ à $14$, qui s’écrivent sous la forme $15-n$ avec $1 \leq n \leq 5$, comme somme de quatre entiers consécutifs, à savoir tous sauf $n$.

Il reste donc à placer les entiers pour obtenir les totaux compris entre $6$ et $9$.

Par ailleurs, si la somme de deux entiers consécutifs donne un certain total $n$, les trois autres entiers sont également consécutifs et donnent le total $15-n$.
Il suffit donc de placer les entiers de telle façon que la somme de deux entiers consécutifs fasse soit $6$, soit $9 = 15 - 6$, et que la somme de deux autres entiers consécutifs fasse soit $7$, soit $8$.
On peut par exemple utiliser le fait que $2 + 4 = 6$ et $4 + 3 = 7$ pour placer les entiers de la façon suivante, qui convient.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

Commentaire sur l'article

Juillet 2021, 1er défi

le 2 juillet 2021 à 15:54, par Lina

En joignant les 7 sommets on obtient un heptagone dont la somme des angles est 5$\pi$. On obtient aussi 7 triangles avec le même sommet $\alpha$ donc la somme des angles à la base est $\pi$ - $\alpha$ or ils reconstituent les angles de l’heptagone.
Donc 7$\pi$ - 7$\alpha$ = 5$\pi$ et la somme des angles est 2$\pi$.
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Juillet 2021, 1er défi

le 2 juillet 2021 à 17:34, par Lina

En effet il ne font pas le tour de heptagone, ils le font plus la somme des angles et on retrouve la solution de Bistraque.
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Juillet 2021, 1er défi

le 2 juillet 2021 à 16:40, par bistraque

En parcourant l’étoile à partir d’un sommet, on fait trois fois le tour autour de son centre soit $6\pi$. A chaque sommet on tourne de $\pi - \alpha_i$ donc au total de $7\pi - \sum\alpha_i$. Donc la somme vaux $\pi$.
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Juillet 2021, 1er défi

le 2 juillet 2021 à 20:13, par Nicolas RAVE

Je propose une approche statistique pythonienne, ne serait-ce que pour éviter d’avoir le tournis, malgré un bon pied marin.

Exemple de résultat pour 50 figures : une moyenne d’environ pi pour la somme des angles avec une variance de 2.0124002684209485e-32 (bien au-dessous de la précision pythonienne en fait).

Il serait hautement improbable que la somme des angles soit différente de pi.

:)
Document joint : pi.png
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Juillet 2021, 1er défi

le 3 juillet 2021 à 10:50, par Mihaela J

Imaginons que les sommets de l’étoile se trouvent sur un cercle (ce n’est pas le cas dans notre figure). La somme des angles demandée est $2 \pi / 2 = \pi$.

Si un point n’est pas sur un cercle, en le tirant pour le ramener sur le cercle la somme des ses angles ne change pas.
Regardons la figure angles.png

On prouve aisément que la somme des angles en rouge et la même que la somme des angles en noir.

Le résultat est $\pi$ et il est généralisable à toute construction en étoile de $2k+1$ sommets en reliant les sommets de $k$ en $k$ (pour $k=1$ on retrouve le triangle).
Document joint : angles.png
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Juillet 2021, 1er défi

le 4 juillet 2021 à 21:57, par dpmontange

Exercice de barres parallèles.
Voir fichier ci-joint.
Document joint : images.math.cnrs.fr_juillet_2021_1er_defi.pdf
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Juillet 2021, 1er défi, reprenons des couleurs.

le 17 janvier à 17:01, par Nicolas RAVE

Comme il a été rappelé plus tôt, la somme Sh des angles de l’heptagone obtenu en joignant les sommets des secteurs est la différence d’une part de 7pi (pour 7 triangles adjacents 2 à 2 et ayant tous en commun un point arbitrairement choisi intérieur à l’heptagone) et d’autre part de la somme de 7 angles totalisant un tour entier (2pi), soit Sh =5pi.

La somme des angles de notre étoile Sétoile est égale à Sh -Snoirs où Snoirs est la somme de chacun des angles représentés en noir sur la figure jointe. Notons-les an.
Chacune des paires d’ an non séparés par un secteur d’étoile est égale à pi-(3 des angles de Sétoile, repérés par 3 points jaunes sur la figure ci-jointe).

Il y a 7 paires d’ an non séparés par un secteur d’étoile, et chacun des angles de Sétoile sera mobilisé 3 fois dans le calcul, par la formule dernièrement exprimée, d’une paire d’ an. (Cf points rouges : l’angle marqué par un couple de points jaune et rouge est mobilisé dans le calcul des 3 paires d’ an marqués par un point rouge).

Ainsi, Sétoile est égale à Sh -Snoirs=Sh - somme_des_an = Sh – (7pi - 3*Sétoile),

i.e. 2Sétoile = 7pi - Sh = 7pi - 5pi = 2pi i.e. Sétoile=pi.
Document joint : total_recall.png
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