Un défi par semaine

Juillet 2021, 1er défi

Le 2 juillet 2021  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (6)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : « Le ciel dans tous ses états ».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette ­aventure.

Semaine 26

Quelle est la somme des sept angles indiqués ?

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Solution du 4e défi de juin :

Enoncé

La réponse est :

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Remarquons que, quelle que soit la façon dont on place les entiers, on obtiendra automatiquement :

  • le total $15$ comme somme des cinq entiers ;
  • les totaux $n$ de $1$ à $5$ comme somme d’un seul entier, à savoir $n$ lui-même ;
  • les totaux de $10$ à $14$, qui s’écrivent sous la forme $15-n$ avec $1 \leq n \leq 5$, comme somme de quatre entiers consécutifs, à savoir tous sauf $n$.

Il reste donc à placer les entiers pour obtenir les totaux compris entre $6$ et $9$.

Par ailleurs, si la somme de deux entiers consécutifs donne un certain total $n$, les trois autres entiers sont également consécutifs et donnent le total $15-n$.
Il suffit donc de placer les entiers de telle façon que la somme de deux entiers consécutifs fasse soit $6$, soit $9 = 15 - 6$, et que la somme de deux autres entiers consécutifs fasse soit $7$, soit $8$.
On peut par exemple utiliser le fait que $2 + 4 = 6$ et $4 + 3 = 7$ pour placer les entiers de la façon suivante, qui convient.

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Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juillet 2021, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

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  • Juillet 2021, 1er défi

    le 3 juillet à 10:50, par Mihaela J

    Imaginons que les sommets de l’étoile se trouvent sur un cercle (ce n’est pas le cas dans notre figure). La somme des angles demandée est $2 \pi / 2 = \pi$.

    Si un point n’est pas sur un cercle, en le tirant pour le ramener sur le cercle la somme des ses angles ne change pas.
    Regardons la figure angles.png

    On prouve aisément que la somme des angles en rouge et la même que la somme des angles en noir.

    Le résultat est $\pi$ et il est généralisable à toute construction en étoile de $2k+1$ sommets en reliant les sommets de $k$ en $k$ (pour $k=1$ on retrouve le triangle).

    Document joint : angles.png
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