Juillet 2021, 3e défi

Le 16 juillet 2021 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : « Le ciel dans tous ses états ».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette aventure.

Semaine 28
Partant d’un triangle équilatéral de côté $1$ cm, on place à l’extérieur des trois côtés trois copies d’un même triangle isocèle. Si la somme des aires des trois triangles isocèles est égale à l’aire du triangle équilatéral, quelle est la longueur des côtés égaux dans les triangles isocèles ?

Solution du 2e défi de juillet :

Enoncé

La réponse est : $14$ nombres.

Notons $a$ et $b$ les deux chiffres d’un nombre $10a+b$ qui répond au problème. Pour que $a$ divise $10a+b$, il faut et il suffit que $a$ divise $b$, c’est-à-dire qu’il existe $t$ entier tel que $b=at$.
Pour que $b$ divise $10a+b$, il faut et il suffit que $b=at$ divise $10a$, et donc que $t$ divise $10$.
Comme $t$ est le quotient de deux chiffres, $t$ est entre $1$ et $9$.
Il y a alors trois valeurs possibles pour $t$.

Si $t=1$, alors on a $a=b$, qui peuvent prendre neuf valeurs. Cela donne les nombres $11, 22, \,\dots, 99$.

Si $t=2$, alors on a $b=2a$. Le chiffre $a$ doit donc être entre $1$ et $4$. Cela donne les nombres $12, 24, 36$ et $48$.

Si $t=5$, alors on a $b=5a$. Le chiffre $a$ ne peut être égal qu’à $1$. Cela donne le nombre $15$.

En tout, on a $9+4+1=14$ nombres qui marchent.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

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Juillet 2021, 3e défi

le 16 juillet 2021 à 16:02, par ROUX

Pour les amateurs et les amatrices de génériques de StarsWar...
Document joint : 16264440257051940401964.jpg
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