Défis du calendrier mathématique Retour à la rubrique

Un défi par semaine

Juillet 2021, 4e défi

Le 23 juillet 2021 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (2)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : « Le ciel dans tous ses états ».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette aventure.

Semaine 29

Est-il possible que le carré d’un nombre entier se termine par deux fois le même chiffre impair ?

Solution du 3e défi de juillet :

Enoncé

La réponse est : $\dfrac{1}{\sqrt3}$ cm.

Nommons les sommets comme sur la figure, avec $O$ le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$. Les trois triangles isocèles à l’extérieur de $ABC$ sont donc $ABF$, $BCD$ et $ACE$.

Par construction, les triangles $ABO, BCO$ et $ACO$ sont isocèles et égaux. De plus, la somme de leurs aires est égale à l’aire du triangle $ABC$. Par conséquent, les triangles $ACE, ABF$ et $BCD$ rajoutés à l’extérieur sont égaux à ces trois-là.

Par le théorème de Pythagore dans un triangle équilatéral de côté $1$ cm, la hauteur vaut $\frac{\sqrt 3}2$ cm.

Or le centre du cercle circonscrit coïncide avec le centre de gravité, donc son rayon vaut $\frac23\times\frac{\sqrt 3}2 = \frac{\sqrt3}3=\frac{1}{\sqrt3}$ cm.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

Commentaire sur l'article

Juillet 2021, 4e défi

le 23 juillet 2021 à 08:23, par François

La réponse est NON.
En effet, si un tel nombre $n$ existait, il serait impair soit $n=2p+ 1$ alors $n^2 = 4p^2+4p + 1 = 100r + 11(2k + 1)$ avec $0 \leq k \leq 4$
soit $n^2 - 1 = 4p^2 + 4p = 100r + 22k + 10$ ; $4$ divise $22k + 10$ , $11k + 5 $ est pair et $k =1 , 3$.
En écrivant cette égalité modulo $5$ on obtient $4p^2 + 4p \equiv 2k$ soit $k \equiv 2p^2+2p$ et $k = 0 , 2 , 4 $.
Contradiction
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Juillet 2021, 4e défi

le 24 juillet 2021 à 08:38, par François

Plus généralement et avec des méthodes identiques, si le carré d’un entier $n$ se termine par deux fois le même chiffre alors ou bien $n$ est un multiple de $10$, ou bien $n$ est congru modulo $100$ à $12$, $38$, $62$ ou $88$ , auquel cas $n^2$ se termine par $44$.
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Juillet 2021, 4e défi

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