Juillet 2021, 4e défi

Le 23 juillet 2021 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (2)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

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Semaine 29

Est-il possible que le carré d’un nombre entier se termine par deux fois le même chiffre impair ?

Solution du 3e défi de juillet :

Enoncé

La réponse est : $\dfrac{1}{\sqrt3}$ cm.

Nommons les sommets comme sur la figure, avec $O$ le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$. Les trois triangles isocèles à l’extérieur de $ABC$ sont donc $ABF$, $BCD$ et $ACE$.

Par construction, les triangles $ABO, BCO$ et $ACO$ sont isocèles et égaux. De plus, la somme de leurs aires est égale à l’aire du triangle $ABC$. Par conséquent, les triangles $ACE, ABF$ et $BCD$ rajoutés à l’extérieur sont égaux à ces trois-là.

Par le théorème de Pythagore dans un triangle équilatéral de côté $1$ cm, la hauteur vaut $\frac{\sqrt 3}2$ cm.

Or le centre du cercle circonscrit coïncide avec le centre de gravité, donc son rayon vaut $\frac23\times\frac{\sqrt 3}2 = \frac{\sqrt3}3=\frac{1}{\sqrt3}$ cm.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

Commentaire sur l'article

Juillet 2021, 4e défi

le 23 juillet à 08:23, par François

La réponse est NON.
En effet, si un tel nombre $n$ existait, il serait impair soit $n=2p+ 1$ alors $n^2 = 4p^2+4p + 1 = 100r + 11(2k + 1)$ avec $0 \leq k \leq 4$
soit $n^2 - 1 = 4p^2 + 4p = 100r + 22k + 10$ ; $4$ divise $22k + 10$ , $11k + 5 $ est pair et $k =1 , 3$.
En écrivant cette égalité modulo $5$ on obtient $4p^2 + 4p \equiv 2k$ soit $k \equiv 2p^2+2p$ et $k = 0 , 2 , 4 $.
Contradiction
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Juillet 2021, 4e défi

le 24 juillet à 08:38, par François

Plus généralement et avec des méthodes identiques, si le carré d’un entier $n$ se termine par deux fois le même chiffre alors ou bien $n$ est un multiple de $10$, ou bien $n$ est congru modulo $100$ à $12$, $38$, $62$ ou $88$ , auquel cas $n^2$ se termine par $44$.
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