Juillet 2021, 5e défi

Le 30 juillet 2021 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (1)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

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De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette aventure.

Semaine 30
Léa, Marie et Océane sont, dans le désordre, ingénieure, mathématicienne et physicienne. La mathématicienne est fille unique et c’est la plus âgée, Océane est plus jeune que l’ingénieure et elle est mariée avec le frère de Léa. Quelle est la profession de Marie ?

Solution du 4e défi de juillet :

Enoncé

La réponse est : C’est impossible.

Considérons $N$ un nombre entier et posons $N=a\times 10 + b$, où $b$ est un chiffre.

On trouve alors $N^2=100a^2+20ab+b^2$, donc le chiffre des unités de $N^2$ est le même que celui de $b^2$.

Or les carrés des chiffres sont $0$, $1$, $4$, $9$, $16$, $25$, $36$, $49$, $64$ et $81$, donc le carré d’un nombre entier se termine toujours par $0, 1, 4, 5, 6$ ou $9$.

Donc si les deux derniers chiffres du carré d’un entier sont deux nombres impairs égaux, ce carré se termine par $11, 55$ ou $99$.

Or le carré d’un nombre pair est toujours pair, et celui d’un nombre impair est de la forme $(2n+1)^2=4(n^2+n)+1$. C’est donc toujours un multiple de $4$ plus 1.

Or, comme $100=25\times4$ et $11=2\times4+3$, $55=13\times4+3$ et $99=24\times4+3$, les nombres se terminant par $11, 55$ ou $99$ sont tous des multiples de $4$ plus 3. Par conséquent, c’est impossible.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

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Juillet 2021, 5e défi

le 30 juillet 2021 à 09:16, par Elrigo

La mathématicienne est fille unique, donc ce n’est pas Léa, qui a un frère.
C’est aussi la plus âgée, donc ce n’est pas Océane, qui est plus jeune que l’ingénieure.

Marie est donc mathématicienne.
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