Un défi par semaine

Juillet 2022, 1er défi

Le 1er juillet 2022  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2022 est en vente ! Il s’intitule : « Les maths, une aventure humaine ».

Toute une année pour partir à la découverte  de femmes et d’hommes qui, à  travers leur travail, leurs échanges, leur  génie  mais aussi leurs contradictions, ont  construit les mathématiques.

Semaine 26

À partir des trois chiffres $a$, $b\neq 0$ et $c\neq 0$, on forme les nombres entiers à deux chiffres $x=10b+a$ et $y=10c+b$. Si $x^2=y^3$, combien vaut $a+b+c$ ?

Solution du 4e défi de juin 2022 :

Enoncé

Il y a $\binom{5}{2}=10$ manières différentes de choisir deux caisses parmi les cinq. Sur ces dix choix, quatre contiennent la caisse contenant des bananes très radioactives. En choisissant deux bananes dans deux caisses différentes, il y a donc une probabilité de $\frac{4}{10}$ que l’une des deux bananes provienne de la caisse contenant des bananes très radioactives.

Notons $x$ le nombre total de bananes très radioactives. Si l’on prend une banane dans cette caisse, la probabilité qu’elle soit très radioactive est donc $\frac{x}{72}$. La condition du problème nous dit que :
\[\frac{4}{10} \times \frac{x}{72}= \frac{5}{100},\; \text{donc}\; x=\frac{72 \times 10 \times 5}{4 \times 100}=9. \]

Il y a donc neuf bananes très radioactives. (Saviez-vous que toutes les bananes étaient naturellement radioactives ?)

Réponse : neuf bananes.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2022 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juillet 2022, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

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  • Juillet 2022, 1er défi

    le 1er juillet à 11:04, par ROUX

    $x$ est un entier qui est la racine carrée d’un autre entier $n$. Cet autre entier $n$ est donc nécessairement un produit de facteurs premiers de puissances paires. Mais $n$ est un cube ($n=y^3$). $n$ est donc finalement un produit de facteurs premiers de puissances multiples de $6$.
    Tâtonnons...
    $y^3=2^6$ donne malheureusement $x=2^3=8=08$ inférieur à $10$.
    $y^3=2^{12}$ donne $x=2^6$ soit $x=2^6=64$ qui est supérieur à $10$ et inférieur à $99$. Donc, $a=6$ et $b=4$. Ensuite, $y=2^4$ soit $y=16$. Donc $c=1$.
    $a+b+c=6+4+1=11$.
    Ensuite, $y^3=2^{18}$ donne $x=2^9=512$ qui est supérieur à $99$.
    Ailleurs, $y^3=3^6$ donne $x=3^3=27$ qui est supérieur à $10$ et inférieur à $99$. Ensuite, $y=3^2=9=09$ inférieur à $10$.
    La prochaine plus petite composition pour $x$ est $x=5^3=125$ supérieur à $99$.
    Mais on pouvait poser le problème de manière plus générale ainsi : soient deux entiers $x$ et $y$ inférieurs à $99$. Déterminer les sommes possibles des chiffres de leurs unités et des chiffres de leurs dizaines si $x^2=y^3$.
    Comme ça on gagnait $0+8+0+4=12$ et $2+7+0+9=18$ et la réponse devenait : les sommes possibles des chiffres des unités et des chiffres des dizaines de deux entiers $x$ et $y$ inférieurs à $99$ tels que $x^2=y^3$ sont $11$, $12$ et $18$.

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