Un défi par semaine

Juillet 2022, 2e défi

Le 8 juillet 2022  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (6)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2022 est en vente ! Il s’intitule : « Les maths, une aventure humaine ».

Toute une année pour partir à la découverte  de femmes et d’hommes qui, à  travers leur travail, leurs échanges, leur  génie  mais aussi leurs contradictions, ont  construit les mathématiques.

Semaine 27

Pour quelles valeurs de l’entier naturel non nul $n$ le nombre $n^2+6n$ possède-t-il exactement un diviseur premier ?

Solution du 1er défi de juillet 2022 :

Enoncé

En considérant l’exposant de chaque nombre premier intervenant dans la décomposition en facteurs premiers de chacun des deux membres de l’égalité $x^2=y^3$, on voit que le nombre $y$ doit être le carré d’un nombre naturel et $x$ doit être le cube d’un nombre naturel.

Or, il n’y a que deux nombres à deux chiffres qui sont le cube d’un nombre naturel : $27=3^3$ et $64=4^3$. Cela entraîne que $x=10b+a=27$ ou bien $x=10b+a=64$.

Si $x=10b+a=3^3=27$, alors $y=10c+b$ est le carré d’un nombre naturel qui se termine par le chiffre $2$, ce qui est impossible : un carré se termine par $0$, $1$, $4$, $5$, $6$ ou $9$. Si $x=10b+a=4^3=64$, alors $y=10c+b=4^2=16$, ce qui satisfait les conditions de l’énoncé, avec $a=4$, $b=6$ et $c=1$.

En conclusion, on a $a+b+c=4+6+1=11$.

Réponse : $11$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2022 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juillet 2022, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

Commentaire sur l'article

  • Juillet 2022, 2e défi

    le 8 juillet à 10:29, par claude

    (n^2) 6n a un seul diviseur premier s’il peut se mettre sous la forme (n^p) avec n premier et p entier
    donc (n^2) 6n=n^p
    En mettant n en facteur :
    Soit n(n 6)=n(n^(p-1))
    Donc n 6=n^(p-1)
    Soit (n^(p-1))-n=6
    En mettant n en facteur :
    n(n^(p-2)-1)=6=2x3
    2 et 3 étant premiers, on peut écrire que :

    • Soit n=2 et alors n^(p-2)-1=3
    • soit n=3 et alors n^(p-2)-1=2
      Il y a donc 2 valeurs de n tel que n(n 6) admette un seul diviseur premier ;
      n=2 et n=3
    Répondre à ce message
    • Juillet 2022, 2e défi

      le 8 juillet à 12:09, par Al_louarn

      Il vous manque $n=1$ car vous supposez que $n$ lui-même est forcément le facteur premier en question, mais ce n’est pas le cas.

      Répondre à ce message
      • Juillet 2022, 2e défi

        le 8 juillet à 12:17, par claude

        1 n’est pas un nombre premier

        Répondre à ce message
        • Juillet 2022, 2e défi

          le 8 juillet à 14:32, par Al_louarn

          Oui mais justement l’énoncé ne demande pas que $n$ soit un diviseur premier de $n^2 + 6n$. Donc on peut prendre $n=1$ et alors $n^2 + 6n = 7$ qui lui, a bien un seul diviseur premier, comme demandé.

          Répondre à ce message
  • Juillet 2022, 2e défi

    le 8 juillet à 10:29, par Al_louarn

    $n^2+6n = n(n+6)$ doit être une puissance d’un nombre premier $p$ donc il doit exister les entiers positifs $i$ et $j$ tels que $n=p^i$ et $p^i + 6 = p^{i+j}$, soit $p^i (p^j - 1) = 6$.
    Donc $n = p^i$ est lui-même puissance d’un nombre premier, mais aussi un diviseur de $6$. Les diviseurs de $6$ sont $1, 2, 3, 6 = 2 \times 3$ donc seuls les $3$ premiers conviennent :
    $n=1$ qui donne $n^2+6n =7^1$
    $n=2$ qui donne $n^2+6n =16 = 2^4$
    $n=3$ qui donne $n^2+6n =27 = 3^3$

    Les solutions pour $n$ sont $1$,$2$ et $3$.

    Répondre à ce message
  • Juillet 2022, 2e défi

    le 8 juillet à 10:30, par Kamakor

    Un nombre qui possède exactement un diviseur premier est un nombre qui peut s’écrire $p^k$ où $p$ est un nombre premier et $k$ un entier strictement positif. Ses diviseurs sont alors les nombres $p^i$ pour i allant de $0$ à $k$ dont un seul est premier (p) .
    $P(n)=n^2+6n=n(n+6)$ possède alors un seul diviseur premier si et seulement si $n$ et $n+6$ sont tous deux puissance d’un même nombre premier. Supposons donc qu’il existe deux entiers naturels a et b tels que $n=p^a$ et $n+6=p^b$ alors $p^a+6=p^b$ d’où $p^b-p^a=6$ et $p^a(p^{b-a}-1)=6$.
    Alors p^a=n est un diviseur de 6 donc $n\in\{1,2,3,6\}$
    $P(1)=7$ possède un diviseur premier : 7 lui-même
    $P(2)=16=2^4$ possède un diviseur premier : 2
    $P(3)=27=3^3$ possède un diviseur premier : 3
    $P(6)=72=2^3 \times 3^2$ possède deux diviseurs premiers 2 et 3
    Donc 1, 2 et 3 sont les seules valeurs recherchées.

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