Un défi par semaine

Juillet 2022, 3e défi

Le 15 juillet 2022  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (8)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2022 est en vente ! Il s’intitule : « Les maths, une aventure humaine ».

Toute une année pour partir à la découverte  de femmes et d’hommes qui, à  travers leur travail, leurs échanges, leur  génie  mais aussi leurs contradictions, ont  construit les mathématiques.

Semaine 28

Déterminer la plus grande valeur de $a+b$ lorsque $a$ et $b$ sont des entiers inférieurs à $500$ vérifiant $15a-13b=1$ ?

Solution du 2e défi de juillet 2022 :

Enoncé

Commençons par écrire $n^2+6n = n(n+6)$.

Si $n=1$, alors $n(n+6)=7$, qui est premier, donc la valeur $n=1$ convient.

Si $n>1$ et si $n(n+6)$ est une puissance d’un nombre premier $p$, alors $p$ divise $n$ et $n+6$, donc leur différence $6$, ce qui donne $p=2$ ou $p=3$.

  • Si $p=2$, alors $n$ et $n+6$ sont des puissances de $2$. Comme $2$ et $8$ sont les deux seules puissances de 2 dont la différence vaut $6$, on en déduit que $n=p=2$.
  • Si $p=3$, alors $n$ et $n+6$ sont des puissances de $3$. Comme $3$ et $9$ sont les deux seules puissances de 3 dont la différence vaut $6$, on en déduit que $n=p=3$.

Finalement, $n$ est égal à $1$, $2$ ou $3$.

Réponse : $1$, $2$ ou $3$

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2022 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juillet 2022, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

Commentaire sur l'article

  • Juillet 2022, 3e défi

    le 15 juillet à 10:59, par Lina

    Comme 7x15-8x13 = 1 les autres solutions sont de la forme a = 7 + 13k et b = 8 + 15k
    soit a + b = 15 + 28k.
    On b supérieur à a il faut donc 8 +15k inférieur à 500 soit 32 pour plus grande valeur de k
    et alors a + b = 15 6+28x32 = 911

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    • Juillet 2022, 3e défi

      le 15 juillet à 11:01, par Lina

      errata il faut supprimer le 6 parasitant la dernière ligne soit 15+28x32

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    • Juillet 2022, 3e défi

      le 15 juillet à 21:51, par Lina

      J’avoue avoir trouvé le 7 et le 8 en tâtonnant, mais on peut y arriver sans tâtonner :
      15 - 13 = 2 donc 0,5x15 - 0,5x13 = 1 et les solution de l’équation deviennent :
      a = 0,5 + (k+0,5)x13 = 13k +7 et b = 0,5 +(k +0,5) x15 = 15k + 8 … etc...
      Le remplacement de k par k + 0,5 est nécessaire pour avoir a et b entiers.
      A noter que si on acceptait des demi-entiers on aurait un maximum de 925

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  • Juillet 2022, 3e défi

    le 15 juillet à 15:22, par ROUX

    On pose $a=S+b$ et on injecte.
    On a alors $15.S=1+28.b$.
    $S$ doit donc être divisible par $15$.
    Par chance $28.8+1=225$ est divisible par $15$.
    Il suffit donc que $b$ soit de la forme $30.k+8$.
    $(500-8)/30$ donne $16,gnagna$.
    $b=8+16.28=488$ ce qui donne $S=911$ puisque alors par chance (?) $a=423$.

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  • Juillet 2022, 3e défi

    le 15 juillet à 15:26, par Kamakor

    $15a-13b=1 \Leftrightarrow a+b+14(a-b)=1 \Leftrightarrow a+b=14(b-a)+1^{\ast}$

    On remarque que $b$ doit être supérieur à $a$ et que maximiser $a+b$ revient à maximiser $b-a$.
    Or $b\leq 500 \Leftrightarrow 2b\leq 1000 \Leftrightarrow a+b+(b-a)\leq 1000 \Leftrightarrow 15(b-a)+1\leq 1000 \Leftrightarrow b-a\leq 66,6$
    \.
    Enfin, $a=\dfrac{a+b - (b-a)}{2}$ et $b=\dfrac{a+b+(b-a)}{2}$ sont entiers si $b-a$ a la même parité que $a+b$.
    $a+b$ est impair d’après $\ast$, or le plus grand entier impair inférieure à $66,6$ est $65$
    Donc $b-a=65$ et $a+b=14\times 65 +1=911$

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    • Juillet 2022, 3e défi

      le 15 juillet à 18:32, par ROUX

      Méthode élégante en ce sens qu’on ne calcule ni $a$ ni $b$ : j’aime beaucoup 😀

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  • Juillet 2022, 3e défi

    le 15 juillet à 15:48, par claude

    15a-13b=1 donc a=(13b+1)/15
    a est un entier donc 13b+1=15k
    d’où : b=(15k-1)/13 et b<500
    Pour remplir ces 2 conditions
    (avec b également entier),
    il faut k=423
    Ce qui entraîne :
    b=(15*423-1)/13= 488
    et a=(13*488)/15=423
    d’où a+b=911

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