Un défi par semaine

Juillet 2022, 4e défi

Le 22 juillet 2022  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2022 est en vente ! Il s’intitule : « Les maths, une aventure humaine ».

Toute une année pour partir à la découverte  de femmes et d’hommes qui, à  travers leur travail, leurs échanges, leur  génie  mais aussi leurs contradictions, ont  construit les mathématiques.

Semaine 29
Combien de triangles y a-t-il dans cette figure ?

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Solution du 3e défi de juillet 2022 :

Enoncé

Commençons par écrire les solutions de l’équation $15a-13b=1$ sous forme paramétrée. Pour cela, on commence par déterminer une solution particulière. On a tout d’abord :

\[ \begin{eqnarray*} 15 & = & 13\times 1+ 2\\ 13 & = & 2\times 6+ 1. \end{eqnarray*} \]

En substituant, on obtient :
\[ \begin{eqnarray*} 1 & = & 13- 2\times 6\\ 1 & = & 13 -(15-13)\times 6\\ 1& = & 13\times 7 -15\times 6. \end{eqnarray*} \]
On en déduit que $a=-6$ et $b=-7$ forment une solution particulière de $15a-13b=1$. Toute autre solution $(a,b)$ vérifie alors :

\[ \begin{eqnarray*} 15 a -13b &=&13\times 7 -15\times 6\\ 15(a+6)&=&13(7+b). \end{eqnarray*} \]

On en déduit que l’on peut paramétrer les solutions $a$ et $b$ sous la forme $a=13n-6$ et $b=15n-7$, pour $n$ décrivant l’ensemble des entiers relatifs.

Pour ce paramétrage, la quantité à maximiser est $a+b=28n-13$, qui est strictement croissante en fonction de $n$. Il s’agit donc de déterminer la plus grande valeur de $n$ compatible avec la condition $a=13n-6\leq 500$ et $b=15n-7\leq 500$.

Lorsque $n>0$, on a $b=15n-7>13n-6=a$. Donc la condition $a, b\leq 500$ implique $15n\leq 507$, autrement dit $n\leq 33$. Pour $n=33$, on obtient donc $a+b=28n-13=28\times 33-13=911$.

Réponse : $a+b=911$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2022 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juillet 2022, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

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