Un défi par semaine

Juillet 2022, 5e défi

Le 29 juillet 2022  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (6)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2022 est en vente ! Il s’intitule : « Les maths, une aventure humaine ».

Toute une année pour partir à la découverte  de femmes et d’hommes qui, à  travers leur travail, leurs échanges, leur  génie  mais aussi leurs contradictions, ont  construit les mathématiques.

Semaine 30

Combien de couples $(x,y)$ de nombres réels vérifient l’équation $x^{40} + y^{40}=(xy)^{20}$ ?

Solution du 4e défi de juillet 2022 :

Enoncé

Réponse : 20 triangles

Distinguons suivant la taille des triangles, qui peut prendre trois valeurs.
Il y a $12$ triangles de petite taille :

PNG - 17.3 ko

Ensuite, il y a six triangles de taille moyenne :

PNG - 36.8 ko

Enfin, il y a deux triangles de taille maximale :

PNG - 63.6 ko

Finalement, il y a $12+6+2=20$ triangles.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2022 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juillet 2022, 5e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

Commentaire sur l'article

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  • Juillet 2022, 5e défi

    le 29 juillet à 11:21, par claude

    x⁴⁰+y⁴⁰=xy²⁰
    Posons x²⁰=X et y²⁰=Y
    L’équation devient : X²+Y²=XY
    soit X²+Y²-XY=0 ou encore
    X²+Y²-2XY+XY=0
    (X-Y)²+XY=0
    (X-Y)² =-XY
    (X-Y)² ≥0
    Il faut donc que -XY ≥0
    Donc que X et Y soient de signe contraire ou qu’ils soient nuls
    0r X et Y sont des puissances paires (=x²⁰ et y²⁰) donc de même signe (≥0)
    Il n’y a donc qu’une seule solution
    x=0 ; y=0

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