Un défi par semaine

Juin 2016, 3e défi

Le 17 juin 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (8)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 25 :

De combien de façons différentes peut-on ranger les nombres $\{1,2,3,4,5,6\}$ si l’on veut que le produit de deux nombres voisins soit toujours pair ?

Solution du 2e défi de Juin :

Enoncé

La réponse est $n=10$.

Nous commençons par $(a_0,b_0,c_0)=(1,2,3)$, ensuite $(a_1,b_1,c_1)=(3,5,4)$ et $(a_2,b_2,c_2)=(8,9,7)$, etc. Soit $x_0=a_0+b_0+c_0=6$ ; nous avons :

$x_1=a_1+b_1+c_1 = (a_0+b_0)+(b_0+c_0)+(c_0+a_0)$

$ = 2(a_0+b_0+c_0)=2x_0=12.$

Donc $x_2=a_2+b_2+c_2=2x_1=4x_0=24$ et ainsi successivement :
$x_1=2x_0$, $x_2=2x_1=2^2 x_0$, $x_3=2x_2=2^3 x_0$ et $x_n= 2^n x_0$. Nous cherchons donc $n$ tel que : $1000 < \frac{2^n\,x_0}{x_0}= 2^n < 2000$, d’où nous concluons que $n=10$, puisque $1000 < 1024 < 2000$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juin 2016, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

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  • Juin 2016, 3e défi

    le 17 juin 2016 à 07:54, par Al_louarn

    Rangeons les $6$ nombres dans un tableau de $6$ cases numérotées de $1$ à $6$.
    Il y a au total $6!$ façons de le faire (permutations).
    Si $i$ est le nombre de permutations où au moins un couple de nombres impairs apparaît dans $2$ cases consécutives, alors la réponse au problème est $6! - i$.

    Pour calculer $i$ on commence par choisir $(a,b)$, premier de ces couples de nombres impairs dans le tableau :

    • il y a $3$ choix possibles pour $a$ : $1$, $3$ ou $5$
    • il reste alors $2$ choix possibles pour $b$
      Ensuite on choisit la case $k$ de $a$ : $1 \leq k \leq 5$.
      Si $k=1$ alors $b$ est dans la case $2$, et il n’y a plus qu’à ranger les $4$ autres nombres dans un ordre quelconque dans les $4$ cases suivantes : $4! = 24$ choix possibles
      Si $2 \leq k \leq 5$ alors ça donne $4$ cas où :
    • on met un nombre pair dans la case $k-1$ : $3$ choix possibles
    • on met $b$ dans la case $k+1$
    • on range les $3$ autres nombres dans un ordre quelconque dans les $3$ cases restantes : $3! = 6$ choix possibles
      Donc $i=3 \times 2 \times (24 + 4 \times 3 \times 6)$.

    La solution est donc $6! - i = 144$.

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