Un défi par semaine

Juin 2016, 3e défi

Le 17 juin 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (8)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 25 :

De combien de façons différentes peut-on ranger les nombres $\{1,2,3,4,5,6\}$ si l’on veut que le produit de deux nombres voisins soit toujours pair ?

Solution du 2e défi de Juin :

Enoncé

La réponse est $n=10$.

Nous commençons par $(a_0,b_0,c_0)=(1,2,3)$, ensuite $(a_1,b_1,c_1)=(3,5,4)$ et $(a_2,b_2,c_2)=(8,9,7)$, etc. Soit $x_0=a_0+b_0+c_0=6$ ; nous avons :

$x_1=a_1+b_1+c_1 = (a_0+b_0)+(b_0+c_0)+(c_0+a_0)$

$ = 2(a_0+b_0+c_0)=2x_0=12.$

Donc $x_2=a_2+b_2+c_2=2x_1=4x_0=24$ et ainsi successivement :
$x_1=2x_0$, $x_2=2x_1=2^2 x_0$, $x_3=2x_2=2^3 x_0$ et $x_n= 2^n x_0$. Nous cherchons donc $n$ tel que : $1000 < \frac{2^n\,x_0}{x_0}= 2^n < 2000$, d’où nous concluons que $n=10$, puisque $1000 < 1024 < 2000$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juin 2016, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

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  • Juin 2016, 3e défi

    le 17 juin 2016 à 12:32, par mesmaker

    Je trouve, évidemment, le même résultat mais avec une technique un peu différente.

    Ce qui importe c’est qu’il n’y ait pas de nombres impairs consécutifs. Donc voyons où peuvent être ces trois nombres impairs 1, 3 et 5.
    S’il y a deux nombres impairs sur les bords du type 1, 2, 3, 4, 6, 5.
    Alors il y a trois possibilités pour le nombres impairs sur le côté droit, il en reste deux pour le côté gauche et le dernier n’a que deux cases de possible la 3eme et la 4eme. Le reste sera rempli par les nombres pairs. Cela donne 3*2*2 * 3*2*1 = 72 combinaisons possibles.

    Ensuite je traite le cas où il n’y a qu’un seul nombre impair sur un côté, le gauche par exemple, du type 1, 2, 3, 4, 5, 6. Dans ce cas, on peut choisir trois nombres impairs à gauche, puis les deux autres nombres impairs doivent être sur les cases 3, 4 ou 5. Comme il ne peuvent se toucher ils doivent être sur les cases 3 et 5. Et comme il en reste deux, il y a deux possibilités. Le reste des cases est rempli par les chiffres pairs. Cela donne 3*2 * 3*2*1 possibilités. Il en est de même si le nombre impairs est sur le côté droit et non le côté gauche, donc on multiplie par 2 : 2 * 3*2 * 3*2*1 = 72 cas.

    Enfin s’il n’y a aucun nombre impairs sur les côtés alors ils doivent être sur les cases 2, 3, 4 et 5. Or trois impairs pour quatre cases consécutives cela donne obligatoirement deux impairs qui se touche. Donc pas de cas ici.

    En résumé, les cas avec deux impairs sur les côtés, 72, plus les cas avec un impair sur un côté, 72, donne bien les 144 cas.

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