Un défi par semaine

Juin 2016, 3e défi

Le 17 juin 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (8)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 25 :

De combien de façons différentes peut-on ranger les nombres $\{1,2,3,4,5,6\}$ si l’on veut que le produit de deux nombres voisins soit toujours pair ?

Solution du 2e défi de Juin :

Enoncé

La réponse est $n=10$.

Nous commençons par $(a_0,b_0,c_0)=(1,2,3)$, ensuite $(a_1,b_1,c_1)=(3,5,4)$ et $(a_2,b_2,c_2)=(8,9,7)$, etc. Soit $x_0=a_0+b_0+c_0=6$ ; nous avons :

$x_1=a_1+b_1+c_1 = (a_0+b_0)+(b_0+c_0)+(c_0+a_0)$

$ = 2(a_0+b_0+c_0)=2x_0=12.$

Donc $x_2=a_2+b_2+c_2=2x_1=4x_0=24$ et ainsi successivement :
$x_1=2x_0$, $x_2=2x_1=2^2 x_0$, $x_3=2x_2=2^3 x_0$ et $x_n= 2^n x_0$. Nous cherchons donc $n$ tel que : $1000 < \frac{2^n\,x_0}{x_0}= 2^n < 2000$, d’où nous concluons que $n=10$, puisque $1000 < 1024 < 2000$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juin 2016, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

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  • Juin 2016, 3e défi

    le 17 juin 2016 à 14:20, par Daniate

    Autre vision, pour le problème de n pairs avec n impairs.

    Pour n=1 : 2 solutions ip et pi donc une seule s’achevant par un pair.

    Hypothèse de récurrence : avec n pairs et n impairs on a n+1 possibilités dont une seule s’achève par un pair.

    Pour passer au rang n+1 il faut prolonger soit par ip soit par pi . Or les finales impaires ne se prolongent que par pi et la finale paire par l’une ou l’autre. On a alors n+2 solutions dont une seule s’achève par paire.

    Pour finir on a 6 façons d’organiser les pairs (impairs) soit 36(n+1) possibilités pour n pairs et n impairs, avec ici n=3 donc 4*36=144 possibilités

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