Un défi par semaine

Juin 2016, 3e défi

Le 17 juin 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (8)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 25 :

De combien de façons différentes peut-on ranger les nombres $\{1,2,3,4,5,6\}$ si l’on veut que le produit de deux nombres voisins soit toujours pair ?

Solution du 2e défi de Juin :

Enoncé

La réponse est $n=10$.

Nous commençons par $(a_0,b_0,c_0)=(1,2,3)$, ensuite $(a_1,b_1,c_1)=(3,5,4)$ et $(a_2,b_2,c_2)=(8,9,7)$, etc. Soit $x_0=a_0+b_0+c_0=6$ ; nous avons :

$x_1=a_1+b_1+c_1 = (a_0+b_0)+(b_0+c_0)+(c_0+a_0)$

$ = 2(a_0+b_0+c_0)=2x_0=12.$

Donc $x_2=a_2+b_2+c_2=2x_1=4x_0=24$ et ainsi successivement :
$x_1=2x_0$, $x_2=2x_1=2^2 x_0$, $x_3=2x_2=2^3 x_0$ et $x_n= 2^n x_0$. Nous cherchons donc $n$ tel que : $1000 < \frac{2^n\,x_0}{x_0}= 2^n < 2000$, d’où nous concluons que $n=10$, puisque $1000 < 1024 < 2000$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juin 2016, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

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  • Juin 2016, 3e défi

    le 18 juin 2016 à 00:26, par Al_louarn

    Une autre approche du cas général, sans récurrence :

    Notons d’abord que tous les impairs sont nécessairement précédés par un pair, sauf le premier pour lequel c’est facultatif.

    On commence donc par construire une suite de $n$ impairs et $n-1$ pairs de la forme $I,P,I,...,P,I$ :
    On ordonne les $n$ impairs : $n!$ permutations
    On choisit le pair à exclure : $n$ choix
    On ordonne les $n-1$ pairs : $(n-1)!$ permutations

    Il reste à insérer le pair exclu :

    • soit avant le premier impair : $1$ choix
    • soit juste après un impair : $n$ choix
      Donc $n+1$ positions possibles pour l’exclu.

    On retrouve finalement $n! \times n \times (n-1)! \times (n+1) = (n!)^2(n+1)$.

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