Un défi par semaine

Juin 2017, 1er défi

Le 2 juin 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (5)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 22 :

Au fond d’un placard sombre, Nawel a un tiroir qui contient $6$ chaussettes noires, $14$ bleues et $8$ vertes. Quand elle prend une chaussette, elle n’en voit pas la couleur. Combien de chaussettes doit-elle sortir de son tiroir pour être sûre d’en avoir deux de la même couleur ?

Solution du 4e défi de Mai :

Enoncé

La réponse est $144$ façons.

La somme de tous les nombres vaut $1{+}2{+}3{+}\dots{+}7= \frac{7\times 8}2=28$. Soit $x$ le nombre au centre. La somme des autres nombres vaut donc $28-x$. Or on doit les assembler en trois paires de même somme, donc le nombre $28-x$ doit être divisible par $3$. Par conséquent $x$ vaut $1$, $4$ ou $7$. Voyons les différents cas :

  • Si $x=1$, alors la somme des nombres dans chaque triangle vaut $1+\frac{27}3=10$. Par conséquent le $2$ doit être apparié au $7$, le $3$ au $6$ et le $4$ au $5$.
    Pour placer le $2$ il y a $6$ possibilités. Une fois ce choix fait, la place du $7$ est fixée puisqu’il est dans le même triangle. Ensuite il reste $4$ possibilités pour le $3$, et ce choix force la place du $6$. Enfin il y a $2$ possibilités pour le $4$, et ce choix force la place du $5$.
    En tout cela fait $6\times 4\times 2=48$ façons pour ce cas.
  • Si $x=4$, alors la somme des nombres dans chaque triangle vaut $4+\frac{24}3=12$. Donc le $1$ doit être apparié au $7$, le $2$ au $6$ et le $3$ au $5$. Comme dans le cas précédent, il y a $48$ façons de placer ces nombres.
  • Si $x=7$, alors la somme des nombres dans chaque triangle vaut $7+\frac{21}3=14$. Donc le $1$ doit être apparié au $6$, le $2$ au $5$ et le $3$ au $4$. Comme dans les deux cas précédents, il y a $48$ façons de placer ces nombres.

En tout, il y a donc $3\times 48=144$ façons de placer les nombres.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juin 2017, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - ARTEMAVETISYAN/SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

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  • Juin 2017, 1er défi

    le 3 juin 2017 à 13:45, par orion8

    Pour moi, mais je ne suis pas expert en chaussettes, c’est $nombre~maximum~dans~une~couleur~+ 1$, soit dans le cas présent : $15$.

    Répondre à ce message

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