Enoncé

La réponse est $144$ façons.

La somme de tous les nombres vaut $1{+}2{+}3{+}\dots{+}7= \frac{7\times 8}2=28$. Soit $x$ le nombre au centre. La somme des autres nombres vaut donc $28-x$. Or on doit les assembler en trois paires de même somme, donc le nombre $28-x$ doit être divisible par $3$. Par conséquent $x$ vaut $1$, $4$ ou $7$. Voyons les différents cas :

• Si $x=1$, alors la somme des nombres dans chaque triangle vaut $1+\frac{27}3=10$. Par conséquent le $2$ doit être apparié au $7$, le $3$ au $6$ et le $4$ au $5$.
  Pour placer le $2$ il y a $6$ possibilités. Une fois ce choix fait, la place du $7$ est fixée puisqu’il est dans le même triangle. Ensuite il reste $4$ possibilités pour le $3$, et ce choix force la place du $6$. Enfin il y a $2$ possibilités pour le $4$, et ce choix force la place du $5$.
  En tout cela fait $6\times 4\times 2=48$ façons pour ce cas.
• Si $x=4$, alors la somme des nombres dans chaque triangle vaut $4+\frac{24}3=12$. Donc le $1$ doit être apparié au $7$, le $2$ au $6$ et le $3$ au $5$. Comme dans le cas précédent, il y a $48$ façons de placer ces nombres.
• Si $x=7$, alors la somme des nombres dans chaque triangle vaut $7+\frac{21}3=14$. Donc le $1$ doit être apparié au $6$, le $2$ au $5$ et le $3$ au $4$. Comme dans les deux cas précédents, il y a $48$ façons de placer ces nombres.

En tout, il y a donc $3\times 48=144$ façons de placer les nombres.