Un défi par semaine

Juin 2017, 3e défi

El 16 junio 2017  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (6)
Leer el artículo en  

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 24 :

Dans une contrée vivent des nains et des elfes. Les nains mentent seulement quand ils parlent d’or, et les elfes mentent seulement quand ils parlent d’un nain. Deux habitants, $A$ et $B$, discutent.
$A$ dit: « J’ai volé tout mon or chez le dragon. »
$B$ répond: « Tu mens. »
À quelles espèces $A$ et $B$ appartiennent-ils ?

Solution du 2e défi de Juin :

Enoncé

La réponse est $\frac{7}{2}$.

Sur les $32$ façons, on voit le côté pile avec un $1$ de la première pièce pour $16$ d’entre elles et le côté face avec un $\frac 1 2$ pour les $16$ autres façons.
En notant $a_1, a_2, a_3, \dots, a_{16}$ les produits des nombres visibles dans le cas où on voit pile, les produits obtenus quand on voit face sont alors $\frac 1 2a_1, \frac 1 2a_2, \dots, \frac 1 2a_{16}$.
La somme des $32$ nombres vaut alors

$\frac{1}{2}(a_1+a_2+\cdots +a_{16})+1(a_1+a_2+\cdots +a_{16})=\left(1+\frac{1}{2}\right)(a_1+a_2+\cdots +a_{16}) .$

Ensuite on fait le même raisonnement pour la seconde pièce: parmi les seize nombres $a_1, a_2, \dots, a_{16}$, huit correspondent au cas où la seconde pièce montre un $1$ et huit au cas où elle montre un $\frac 1 3$.
On peut supposer que le premier cas correspond aux nombres $a_1, a_2, \dots, a_8$, la somme vaut alors

$\left(1+\frac{1}{2}\right)(a_1+a_2+\cdots +a_{16})=\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right)(a_1+a_2+\cdots +a_{8}).$

En continuant, on trouve que la somme vaut finalement

$\left (1+\frac{1}{2}\right ) \left (1+\frac{1}{3}\right ) \left(1+\frac{1}{4}\right )\left (1+\frac{1}{5}\right )\left(1+\frac{1}{6}\right )= \frac{3}{2}\times \frac{4}{3}\times \frac{5}{4}\times \frac{6}{5}\times \frac{7}{6}=\frac{7}{2}.$

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

Comparte este artículo

Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Juin 2017, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - ARTEMAVETISYAN/SHUTTERSTOCK

Comentario sobre el artículo

Voir tous les messages - Retourner à l'article

  • Juin 2017, 3e défi

    le 16 de junio de 2017 à 13:57, par Celem Mene

    Si A était un nain, il mentirait puisqu’il s’agit d’or. Or, ni un nain, ni un elfe ne pourrait lui dire «tu mens», puisque ce serait la vérité (un nain mentirait en parlant d’or et un elfe puisqu’il s’agit d’un nain).

    A est donc un elfe qui dit la vérité et B est nain qui ment puisqu’il s’agit d’or.

    Répondre à ce message

Dejar un comentario

Foro sólo para inscritos

Para participar en este foro, debe registrarte previamente. Gracias por indicar a continuación el identificador personal que se le ha suministrado. Si no está inscrito/a, debe inscribirse.

Conexióninscribirse¿contraseña olvidada?

La traducción del sitio del francés al castellano se realiza gracias al apoyo de diversas instituciones de matemáticas de América Latina.