Enoncé

La réponse est $\frac{7}{2}$.

Sur les $32$ façons, on voit le côté pile avec un $1$ de la première pièce pour $16$ d’entre elles et le côté face avec un $\frac 1 2$ pour les $16$ autres façons.
En notant $a_1, a_2, a_3, \dots, a_{16}$ les produits des nombres visibles dans le cas où on voit pile, les produits obtenus quand on voit face sont alors $\frac 1 2a_1, \frac 1 2a_2, \dots, \frac 1 2a_{16}$.
La somme des $32$ nombres vaut alors

$\frac{1}{2}(a_1+a_2+\cdots +a_{16})+1(a_1+a_2+\cdots +a_{16})=\left(1+\frac{1}{2}\right)(a_1+a_2+\cdots +a_{16}) .$

Ensuite on fait le même raisonnement pour la seconde pièce: parmi les seize nombres $a_1, a_2, \dots, a_{16}$, huit correspondent au cas où la seconde pièce montre un $1$ et huit au cas où elle montre un $\frac 1 3$.
On peut supposer que le premier cas correspond aux nombres $a_1, a_2, \dots, a_8$, la somme vaut alors

$\left(1+\frac{1}{2}\right)(a_1+a_2+\cdots +a_{16})=\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right)(a_1+a_2+\cdots +a_{8}).$

En continuant, on trouve que la somme vaut finalement

$\left (1+\frac{1}{2}\right ) \left (1+\frac{1}{3}\right ) \left(1+\frac{1}{4}\right )\left (1+\frac{1}{5}\right )\left(1+\frac{1}{6}\right )= \frac{3}{2}\times \frac{4}{3}\times \frac{5}{4}\times \frac{6}{5}\times \frac{7}{6}=\frac{7}{2}.$