Un défi par semaine
Juin 2017, 3e défi
El
16 junio 2017
- Escrito por
Ana Rechtman
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.
Semaine 24 :
Dans une contrée vivent des nains et des elfes. Les nains mentent seulement quand ils parlent d’or, et les elfes mentent seulement quand ils parlent d’un nain. Deux habitants, $A$ et $B$, discutent.
$A$ dit: « J’ai volé tout mon or chez le dragon. »
$B$ répond: « Tu mens. »
À quelles espèces $A$ et $B$ appartiennent-ils ?
Enoncé
La réponse est $\frac{7}{2}$.
Sur les $32$ façons, on voit le côté pile avec un $1$ de la première pièce pour $16$ d’entre elles et le côté face avec un $\frac 1 2$ pour les $16$ autres façons.
En notant $a_1, a_2, a_3, \dots, a_{16}$ les produits des nombres visibles dans le cas où on voit pile, les produits obtenus quand on voit face sont alors $\frac 1 2a_1, \frac 1 2a_2, \dots, \frac 1 2a_{16}$.
La somme des $32$ nombres vaut alors
$\frac{1}{2}(a_1+a_2+\cdots +a_{16})+1(a_1+a_2+\cdots +a_{16})=\left(1+\frac{1}{2}\right)(a_1+a_2+\cdots +a_{16}) .$
Ensuite on fait le même raisonnement pour la seconde pièce: parmi les seize nombres $a_1, a_2, \dots, a_{16}$, huit correspondent au cas où la seconde pièce montre un $1$ et huit au cas où elle montre un $\frac 1 3$.
On peut supposer que le premier cas correspond aux nombres $a_1, a_2, \dots, a_8$, la somme vaut alors
$\left(1+\frac{1}{2}\right)(a_1+a_2+\cdots +a_{16})=\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right)(a_1+a_2+\cdots +a_{8}).$
En continuant, on trouve que la somme vaut finalement
$\left (1+\frac{1}{2}\right ) \left (1+\frac{1}{3}\right ) \left(1+\frac{1}{4}\right )\left (1+\frac{1}{5}\right )\left(1+\frac{1}{6}\right )= \frac{3}{2}\times \frac{4}{3}\times \frac{5}{4}\times \frac{6}{5}\times \frac{7}{6}=\frac{7}{2}.$
Post-scriptum : Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.
Article édité par
Ana Rechtman
Para citar este artículo:
Ana Rechtman
— «Juin 2017, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017
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Juin 2017, 3e défi
le 16 de junio de 2017 à 13:57, par Celem Mene