Un défi par semaine

Juin 2017, 5e défi

Le 30 juin 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (7)
Lire l'article en  

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 26 :

Si $C$ est sur $[AB]$ de sorte que $AC=2\times CB$ et $[CD]$ est perpendiculaire à $[AB]$, quel est le rapport entre les aires des triangles $ABD$ et $CDE$ ?

PNG - 44.5 ko

Solution du 4e défi de Juin :

Enoncé

La réponse est $17$ nombres.

Si $m$, $n$ et $p$ sont trois quelconques des entiers sélectionnés, comme $m+p$ et $n+p$ sont divisibles par $12$, leur différence $(m+p)-(n+p)=m-n$ est aussi divisible par $12$. Cela implique que, si Lili a choisi au moins $3$ nombres, alors tous ont le même reste quand on les divise par $12$, c’est-à-dire qu’ils sont tous de la forme $12k+c$ où $c$ est fixe entre $0$ et $11$ et $k$ peut varier.
Comme la somme de deux nombres doit être divisible par $12$, le nombre $2c$ doit être divisible par $12$, donc on a $c=0$ ou $c=6$.

En prenant par exemple $c=0$, Lili peut choisir les nombres $12, 24,\dots, 192=12\times 16$, ce qui fait $16$ nombres.

En prenant $c=6$, elle peut choisir les nombres $6, 18, 30,\dots$, $198$, ce qui fait $17$ nombres.

Alors, elle peut choisir $17$ nombres au maximum.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

Partager cet article

Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juin 2017, 5e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - ARTEMAVETISYAN/SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

Voir tous les messages - Retourner à l'article

  • Juin 2017, 5e défi

    le 1er juillet 2017 à 16:29, par Daniate

    Je propose deux démonstrations

    La première s’appuie sur la propriété d’un triangle de conserver son aire quand un sommet glisse parallèlement au côté opposé. On ajoute G projeté orthogonal de E sur (AB) et R intersection de (EG) avec le cercle. Les égalités suivantes s’appliquent aux aires . Par symétrie DCG=DCB. Par glissement de D en R : AGD=AGR=DCG donc ADB=3DCG =3DCE par glissement de G en E.

    La deuxième est un jeu de puzzle. F ,H et N sont les milieux de [AG] ,[CB] et [AD]. N et L sont les points de (AD) tels que (NF), (LG) et (DE) sont parallèles. J et P de (DE) sont tels que (JG), (PC) et (AD) sont parallèles. (GJ) coupe (DC) en I et (IB) coupe (DH) en K. DCB est alors découpé en 4 morceaux et ABD den 12 morceaux qui ne sont que les 4 répétés 3 fois.

    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?