Un défi par semaine

Juin 2017, 5e défi

Le 30 juin 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (7)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 26 :

Si $C$ est sur $[AB]$ de sorte que $AC=2\times CB$ et $[CD]$ est perpendiculaire à $[AB]$, quel est le rapport entre les aires des triangles $ABD$ et $CDE$ ?

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Solution du 4e défi de Juin :

Enoncé

La réponse est $17$ nombres.

Si $m$, $n$ et $p$ sont trois quelconques des entiers sélectionnés, comme $m+p$ et $n+p$ sont divisibles par $12$, leur différence $(m+p)-(n+p)=m-n$ est aussi divisible par $12$. Cela implique que, si Lili a choisi au moins $3$ nombres, alors tous ont le même reste quand on les divise par $12$, c’est-à-dire qu’ils sont tous de la forme $12k+c$ où $c$ est fixe entre $0$ et $11$ et $k$ peut varier.
Comme la somme de deux nombres doit être divisible par $12$, le nombre $2c$ doit être divisible par $12$, donc on a $c=0$ ou $c=6$.

En prenant par exemple $c=0$, Lili peut choisir les nombres $12, 24,\dots, 192=12\times 16$, ce qui fait $16$ nombres.

En prenant $c=6$, elle peut choisir les nombres $6, 18, 30,\dots$, $198$, ce qui fait $17$ nombres.

Alors, elle peut choisir $17$ nombres au maximum.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juin 2017, 5e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - ARTEMAVETISYAN/SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

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  • Juin 2017, 5e défi

    le 2 juillet 2017 à 10:35, par Daniate

    Bonjour,

    En effet, grâce à votre remarque, je m’aperçois qu’on peut s’affranchir du cercle et donc de l’angle droit avec une hypothèse plus faible : E symétrique de D par rapport à O milieu de [AB] mais la symétrie n’existe plus et le point R devient inutile . Pour arriver à ABD =3DCG on peut démontrer AG=GC=CB . Je crains toutefois que le puzzle ne soit plus de saison.

    Répondre à ce message

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