Un défi par semaine

Juin 2017, 5e défi

Le 30 juin 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (7)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 26 :

Si $C$ est sur $[AB]$ de sorte que $AC=2\times CB$ et $[CD]$ est perpendiculaire à $[AB]$, quel est le rapport entre les aires des triangles $ABD$ et $CDE$ ?

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Solution du 4e défi de Juin :

Enoncé

La réponse est $17$ nombres.

Si $m$, $n$ et $p$ sont trois quelconques des entiers sélectionnés, comme $m+p$ et $n+p$ sont divisibles par $12$, leur différence $(m+p)-(n+p)=m-n$ est aussi divisible par $12$. Cela implique que, si Lili a choisi au moins $3$ nombres, alors tous ont le même reste quand on les divise par $12$, c’est-à-dire qu’ils sont tous de la forme $12k+c$ où $c$ est fixe entre $0$ et $11$ et $k$ peut varier.
Comme la somme de deux nombres doit être divisible par $12$, le nombre $2c$ doit être divisible par $12$, donc on a $c=0$ ou $c=6$.

En prenant par exemple $c=0$, Lili peut choisir les nombres $12, 24,\dots, 192=12\times 16$, ce qui fait $16$ nombres.

En prenant $c=6$, elle peut choisir les nombres $6, 18, 30,\dots$, $198$, ce qui fait $17$ nombres.

Alors, elle peut choisir $17$ nombres au maximum.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juin 2017, 5e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - ARTEMAVETISYAN/SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

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  • Juin 2017, 5e défi

    le 4 juillet 2017 à 18:35, par Daniate

    Une autre démonstration est possible avec le théorème de Pick. Il suffit de placer tous les points sauf O dans un quadrillage rectangulaire ( ou parallélogrammique dans la version modifiée) un côté étant CB et l’autre CD.
    Il suffit alors de compter les points sur la bordure (B) et les points intérieurs (I) et d’appliquer la formule S = I + B / 2 - 1
    Pour ABD : I=0 et B=5 donc S=1,5 (fois l’aire de base)
    Pour DCE : I=0 et B=3 donc S=0,5

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