Juin 2018, 2e défi

Le 8 juin 2018 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (8)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 23

Le triangle rectangle $ABC$ a une aire de $12\,cm^2$. Si $AN=NM=MC$, $XB=BM$ et $YB=BN$. Quelle est l’aire du quadrilatère $XYCA$ ?

Solution du 1er défi de Juin :

Enoncé

La réponse est :$2$ nombres.

Si $|||||x-1|-2|-3|-4|-5|=0$, alors
$||||x-1|-2|-3|-4|=5$.
Donc, $|||x-1|-2|-3|-4$ est égal à 5 ou
à $-5$, d’où $|||x-1|-2|-3|=4\pm 5$.
Comme le côté gauche de cette dernière égalité n’est jamais négatif, la seule possibilité est qu’on ait $|||x-1|-2|-3|=9$.
En appliquant ce raisonnement de nouveau, on obtient
\[\begin{eqnarray*} ||x-1|-2|& = & 12\\ |x-1| & = & 14\\ x & = & 1\pm 14, \end{eqnarray*}\]
ce qui implique que $x$ est égal à $-13$ ou à $15$. Par conséquent, il y a deux nombres réels qui satisfont l’équation.

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Juin 2018, 2e défi

le 12 juin 2018 à 18:15, par Poss Jean-Louis

Les triangles ABN, NBM et MBC ont même hauteur issue de B et leurs bases AN, NM et MC sont égales : leurs aires sont égales. Leur réunion formant le triangle ABC dont l’aire est égale à 12 cm^2, leurs aires sont égales à 4 cm^2.

Le triangle BXY est symétrique du triangle BMN dans la symétrie de centre B : son aire est égale à celle de BMN soit 4 cm^2.

Puisque Y B = BN et CM = MN, le triangle NY C se déduit du triangle NBM par l’homothétie de centre N et de rapport 2 : son aire est égale à quatre fois celle du triangle NBM soit 16 cm^2.

De la même façon le triangle MAX se déduit du triangle MNB par l’homothétie de centre M et de rapport 2 : son aire est aussi égale à 16 cm^2.

On en déduit que les aires des triangles BCY et BAX sont égales à 8 cm^2.

On obtient l’aire du quadrilatère XY CA en additionnant les aires des triangles ; elle est égale à 32 cm^2.
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