Juin 2019, 3e défi

Le 21 juin 2019 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (2)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 25

Trouver tous les nombres entiers solutions de l’équation

\[ x^4=y^2+71. \]

Solution du 2e défi de juin :

Enoncé

La solution est colonne $45$, ligne $7$.

Observons que les nombres de la première ligne sont de la forme
$(2n+1)^2$ ou $(2n+1)^2+1$ et que $(2n+1)^2$ est dans la colonne $2n+1$. Les nombres de la première colonne sont de la forme
$(2n)^2$ ou $(2n)^2+1$ et $(2n)^2$ est dans la ligne $2n$. Le nombre $45^2=2025$ est le carré le plus petit qui soit supérieur à $2019$, et il se trouve dans la colonne $45$.

Pour connaître le numéro de la ligne dans laquelle se trouve
$2019$, remarquons que le numéro de sa colonne est impair et que la
direction des flèches est donc ascendante. Il suffit alors de calculer $2025-2019+1=7$.

Ainsi, le nombre $2019$ se trouve en colonne $45$, ligne $7$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

Commentaire sur l'article

Juin 2019, 3e défi

le 21 juin 2019 à 08:05, par François

On a (x^2 - y) (x^2 + y) = 71 qui est un nombre premier. Donc x^2 - y = 1 et x^2 + y = 7 (en supposant y >0). On en déduit que 2 y = 70 , y = 35 et x = 6.
La solution en entiers naturels est (x,y) = (6, 35) , en nombres entiers (±6, ±35).
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Juin 2019, 3e défi

le 21 juin 2019 à 08:55, par François

Errata lire x^2 + y = 71 et non x^2 + y = 7
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