Un défi par semaine
Juin 2020, 1er défi
El
5 junio 2020
- Escrito por
Ana Rechtman
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !
Semaine 23
Si le système possède trois solutions réelles positives, quelle est la valeur de $x+y+z$ ?
\[
\begin{array}{ccc}
x&=&\sqrt{11-2yz}\\
y&=&\sqrt{12-2xz}\\
z&=&\sqrt{13-2xy}.
\end{array}
\]
Enoncé
La réponse est : $63$ tentatives.
Si la combinaison commence par $0$, alors il y a neuf combinaisons possibles: $019$, $028$, $\dots$ $091$.
Si la combinaison commence par $1$, alors il y a dix combinaisons
possibles: $109$, $118$, $\dots$$190$.
Si la combinaison commence
par $2$, alors la somme des deux autres chiffres doit valoir $8$, ce
qui donne $9$ combinaisons possibles: $208$, $217$, $226$, $235$,
$244$, $253$, $262$ $271$ et $280$.
Plus généralement, si la
combinaison commence par $k>0$, alors la somme des deux autres
chiffres doit valoir $10-k$, ce qui donne $10-k+1$ combinaisons
possibles. Par exemple, pour $k=7$, les combinaisons possibles sont
$703$, $712$, $721$, $730$.
Par conséquent, le nombre total de
tentatives est
\[9 + 10 + 9 + 8+7+6 +\cdots +3+2=9 + \frac{10 \times 11}{2} -1=63.\]
Post-scriptum : Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.
Disponible en librairie et sur www.pug.fr
Para citar este artículo:
Ana Rechtman
— «Juin 2020, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020
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Juin 2020, 1er défi
le 10 de junio de 2020 à 17:58, par François