Un défi par semaine

Juin 2020, 1er défi

El 5 junio 2020  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (12)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 23

Si le système possède trois solutions réelles positives, quelle est la valeur de $x+y+z$ ?
\[ \begin{array}{ccc} x&=&\sqrt{11-2yz}\\ y&=&\sqrt{12-2xz}\\ z&=&\sqrt{13-2xy}. \end{array} \]

Solution du 5e défi de mai :

Enoncé

La réponse est : $63$ tentatives.

Si la combinaison commence par $0$, alors il y a neuf combinaisons possibles: $019$, $028$, $\dots$ $091$.

Si la combinaison commence par $1$, alors il y a dix combinaisons
possibles: $109$, $118$, $\dots$$190$.

Si la combinaison commence
par $2$, alors la somme des deux autres chiffres doit valoir $8$, ce
qui donne $9$ combinaisons possibles: $208$, $217$, $226$, $235$,
$244$, $253$, $262$ $271$ et $280$.

Plus généralement, si la
combinaison commence par $k>0$, alors la somme des deux autres
chiffres doit valoir $10-k$, ce qui donne $10-k+1$ combinaisons
possibles. Par exemple, pour $k=7$, les combinaisons possibles sont
$703$, $712$, $721$, $730$.

Par conséquent, le nombre total de
tentatives est
\[9 + 10 + 9 + 8+7+6 +\cdots +3+2=9 + \frac{10 \times 11}{2} -1=63.\]

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Juin 2020, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - JAN MARTIN WILL / SHUTTERSTOCK

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  • Juin 2020, 1er défi

    le 10 de junio de 2020 à 17:58, par François

    Pour revenir à la généralisation $m$, $m+1$, $m+2$ au lieu de $11$, $12$, $13$, la somme $x + y + z$ est entière ssi $m = 3n^2 -1$ avec $n$ entier et alors $x + y + z = 3n$ . Dans ce cas pour avoir des solutions positives $y$ est racine du polynôme $P = 27(X-n)^4-4$ (dixit Maple mais pourquoi ?), c’est à dire $y = n \pm \frac {\sqrt {3} \sqrt [4] {3}} {3}$
    Compte tenu du fait que $y^2 + 2xz = 3n^2$ et que $x + y + z = 3n$, on obtient que $x$ et $z$ sont solutions de l’équation $2Y^2 + 2Y(y - 3n) = y^2 - 3n^2$ de discriminant $3(y-n)^2 = \frac {2\sqrt {3}} {3}$.
    De plus $2 = z^2 - x^2 + 2y(x - z) = (z - x)(z + x -2y) = 3(z - x)(n - y)$, donc $z > x \Leftrightarrow n > y$ Ceci permet de distinguer $x$ et $z$. On a donc deux solutions positives :
    $x = n + \frac {\sqrt {3} \sqrt [4] {3}} {6}(1 - \sqrt {3}) , y = n - \frac {\sqrt {3} \sqrt [4] {3}} {3}, z = n + \frac {\sqrt {3} \sqrt [4] {3}} {6}(1 + \sqrt{3})$
    $x = n - \frac {\sqrt {3} \sqrt [4] {3}} {6}(1 - \sqrt {3}) , y = n + \frac {\sqrt {3} \sqrt [4] {3}} {3}, z = n - \frac {\sqrt {3} \sqrt [4] {3}} {6}(1 + \sqrt{3})$
    Mais je ne sais toujours pas d’où sort ce polynôme $P$.

    Répondre à ce message

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