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• Juin 2020, 1er défi

  le 10 de junio de 2020 à 17:58, par François

  Pour revenir à la généralisation $m$, $m+1$, $m+2$ au lieu de $11$, $12$, $13$, la somme $x + y + z$ est entière ssi $m = 3n^2 -1$ avec $n$ entier et alors $x + y + z = 3n$ . Dans ce cas pour avoir des solutions positives $y$ est racine du polynôme $P = 27(X-n)^4-4$ (dixit Maple mais pourquoi ?), c’est à dire $y = n \pm \frac {\sqrt {3} \sqrt [4] {3}} {3}$
  Compte tenu du fait que $y^2 + 2xz = 3n^2$ et que $x + y + z = 3n$, on obtient que $x$ et $z$ sont solutions de l’équation $2Y^2 + 2Y(y - 3n) = y^2 - 3n^2$ de discriminant $3(y-n)^2 = \frac {2\sqrt {3}} {3}$.
  De plus $2 = z^2 - x^2 + 2y(x - z) = (z - x)(z + x -2y) = 3(z - x)(n - y)$, donc $z > x \Leftrightarrow n > y$ Ceci permet de distinguer $x$ et $z$. On a donc deux solutions positives :
  $x = n + \frac {\sqrt {3} \sqrt [4] {3}} {6}(1 - \sqrt {3}) , y = n - \frac {\sqrt {3} \sqrt [4] {3}} {3}, z = n + \frac {\sqrt {3} \sqrt [4] {3}} {6}(1 + \sqrt{3})$
  $x = n - \frac {\sqrt {3} \sqrt [4] {3}} {6}(1 - \sqrt {3}) , y = n + \frac {\sqrt {3} \sqrt [4] {3}} {3}, z = n - \frac {\sqrt {3} \sqrt [4] {3}} {6}(1 + \sqrt{3})$
  Mais je ne sais toujours pas d’où sort ce polynôme $P$.

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