Un défi par semaine

Juin 2020, 3e défi

Le 19 juin 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 25 Considérons une planche de bois délimitée par deux cercles concentriques de rayons $1$ cm et $6$ cm. Quelle est la longueur maximale d’un segment de droite dessiné sur cet anneau de bois ?

Solution du 2e défi de juin :

Enoncé

La réponse est : deux entiers.

Soient deux entiers $m$ et $k$ tels que $n-52=m^2$ et
$n+52=k^2$. On a alors $m^2+52=k^2-52$, ce qui entraîne que
\[k^2-m^2=(k-m)(k+m)=104=2^3\times 13.\]
Les nombres $k-m$ et $k+m$ sont donc deux diviseurs de $104$ vérifiant $k-m\le k+m$.
Les couples $(k-m,k+m)$ sont donc à choisir dans l’ensemble :
$(8,13)$, $(4,26)$, $(2,52)$, $(1,104)$.
Cependant, $104$ étant un nombre pair, un des deux entiers $k-m$ ou $k+m$
doit être pair. De plus, $k+m=(k-m)+2m$ donc finalement, ces deux nombres doivent être pairs. Le couple $(k-m,k+m)$ ne peut qu’être $(4,26)$ ou $(2,52)$.
étudions le premier cas :
\[ \begin{eqnarray*} (k+m)+(k-m)&=&26+4\\ 2k&=&30\\ k&=&15, \end{eqnarray*} \]
et $m=k-4=11$. Dans ce cas $n=11^2+52 = 173.$ De manière analogue, on trouve pour le second cas, $k=\frac{52+2}{2}=27$ et $m=25$, ce qui donne $n=25^2+52=677$. Il n’existe alors que deux entiers naturels satisfaisant la condition : $173$ et $677$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juin 2020, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - JAN MARTIN WILL / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Juin 2020, 3e défi

    le 19 juin à 10:59, par FDesnoyer

    Bonjour,
    je prends le risque de répondre en premier !

    Le segment en question ne peut qu’être tangent au cercle intérieur. On trace une figure rapide, on a O le centre commun, A le point de tangence, B et C les extémités du segment.

    AC=AB=$\sqrt{35}$ donc la longueur maximale est $2\sqrt{35}$

    Amicalement,

    F.D.

    Répondre à ce message
    • Juin 2020, 3e défi

      le 19 juin à 12:52, par Niak

      Idem, avec la figure :







      Le segment rouge mesure $2\sqrt{6^2-1^2}=2\sqrt{35}$.

      Répondre à ce message
      • Juin 2020, 3e défi

        le 19 juin à 12:56, par Niak

        Pfff, la figure, non cassée par le site cette fois, on l’espère :

        Répondre à ce message

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