Juin 2021, 1er défi

El 4 junio 2021 - Escrito por Ana Rechtman Ver los comentarios (1)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : «Le ciel dans tous ses états».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette aventure.

Semaine 22

Considérons un quadrilatère $ABCD$ dont les longueurs des côtés sont $AB=3$ cm, $BC=4$ cm, $CD=5$ cm et $DA=6$ cm. Si $\widehat{ABC} = 90^{\circ}$, quelle est l’aire du quadrilatère?

Solution du 4e défi de mai:

Enoncé

La réponse est 900.

Puisque $M$ est le cube d’un entier naturel, sa décomposition en facteurs premiers est
$M= p_{1}^{3\alpha_{1}}\times p_{2}^{3\alpha_{2}} \times\ldots \times p_{k}^{3\alpha_{k}},$
où l’exposant de chaque facteur premier est un multiple de $3$.

Notons par ailleurs que $810 = 2\times 3^{4} \times 5$.

Comme $M$ est multiple de $810$, $M$ vaut au moins $2^{3}\times 3^{6}\times 5^{3}$.

Donc la plus petite valeur pour $\frac{M}{810}$ est $2^2\times 3^2\times 5^2=900$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

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Juin 2021, 1er défi

le 4 de junio de 2021 à 15:15, par Veurius

Grâce au théorème de Pythagore, le segment AC mesure 5 cm. Le triangle ACD est donc isocèle. Le milieu E du côté AD divise le triangle ACD en deux triangles rectangles de hauteur CE d’une longueur de 4 cm.
Le quadrilatère ABCD peut donc se diviser en trois triangles rectangles d’une aire égale à 6 cm².
L’aire du quadrilatère ABCD vaut alors 18 cm².
Document joint : defi-2.png
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El autor

Ana Rechtman

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