Un défi par semaine

Juin 2021, 1er défi

Le 4 juin 2021  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (1)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : « Le ciel dans tous ses états ».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette ­aventure.

Semaine 22

Considérons un quadrilatère $ABCD$ dont les longueurs des côtés sont $AB=3$ cm, $BC=4$ cm, $CD=5$ cm et $DA=6$ cm. Si $\widehat{ABC} = 90^{\circ}$, quelle est l’aire du quadrilatère ?

Solution du 4e défi de mai :

Enoncé

La réponse est 900.

Puisque $M$ est le cube d’un entier naturel, sa décomposition en facteurs premiers est
 $M= p_{1}^{3\alpha_{1}}\times p_{2}^{3\alpha_{2}} \times\ldots \times p_{k}^{3\alpha_{k}},$
où l’exposant de chaque facteur premier est un multiple de $3$.

Notons par ailleurs que $810 = 2\times 3^{4} \times 5$.

Comme $M$ est multiple de $810$, $M$ vaut au moins $2^{3}\times 3^{6}\times 5^{3}$.

Donc la plus petite valeur pour $\frac{M}{810}$ est $2^2\times 3^2\times 5^2=900$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juin 2021, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Commentaire sur l'article

  • Juin 2021, 1er défi

    le 4 juin à 15:15, par Veurius

    Grâce au théorème de Pythagore, le segment AC mesure 5 cm. Le triangle ACD est donc isocèle. Le milieu E du côté AD divise le triangle ACD en deux triangles rectangles de hauteur CE d’une longueur de 4 cm.
    Le quadrilatère ABCD peut donc se diviser en trois triangles rectangles d’une aire égale à 6 cm².
    L’aire du quadrilatère ABCD vaut alors 18 cm².

    Document joint : defi-2.png
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