Juin 2021, 2e défi

Le 11 juin 2021 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (1)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : « Le ciel dans tous ses états ».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette aventure.

Semaine 23
Quelle est la plus grande puissance de $2$ qui divise $10^{2021} - 2\times4^{1010}$ ?

Solution du 1er défi de juin :

Enoncé

La réponse est $18$ cm$^2$.

Comme $\widehat{ABC}= 90^{\circ}$, l’aire du triangle $ABC$ est :
\[ \frac{AB\times BC}{2} = \frac{3\times 4}{2}=\frac{12}{2}=6\,\mathrm{cm}^2. \]

Il reste donc à calculer l’aire du triangle $CDA$.

Par le théorème de Pythagore : $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25.$
Donc $AC=5$ cm. Le triangle $CDA$ est donc isocèle puisque $AC=CD=5$ cm.

Notons maintenant $M$ le milieu de $[AD]$. Puisque $CDA$ est isocèle, le segment $[CM]$ est perpendiculaire à la base $[AD]$. Le triangle $AMC$ est donc rectangle en $M$ avec $AC=5$ cm et $AM=3$ cm.

En utilisant à nouveau le théorème de Pythagore : $MC^2 = AC^2-AM^2= 16.$

Donc $MC=4$ cm. Donc l’aire du triangle $ADC$ est :
\[ \frac{AD\times MC}{2} = \frac{6\times 4}{2}=\frac{24}{2} = 12\,\mathrm{cm}^2. \]
Par conséquent, l’aire du quadrilatère $ABCD$ est $18\,\mathrm{cm}^2$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

Commentaire sur l'article

Juin 2021, 2e défi

le 11 juin à 08:53, par Al_louarn

$10^{2021} - 2 \times 4^{1010} = 2^{2021} \times 5^{2021} - 2^{2021}$
$= 2^{2021}(5^{2021} - 1)$
$= 2^{2021}(5 - 1)(1+5+5^2+...+5^{2020})$
$= 2^{2023}(5^0+5^1+5^2+...+5^{2020})$

Le facteur de droite est une somme de $2021$ puissances de $5$. C’est un nombre impair puisque $2021$ et $5$ sont impairs.
La réponse est donc $2^{2023}$.
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