Un défi par semaine

Juin 2021, 2e défi

Le 11 juin 2021  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (1)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : « Le ciel dans tous ses états ».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette ­aventure.

Semaine 23
Quelle est la plus grande puissance de $2$ qui divise $10^{2021} - 2\times4^{1010}$ ?

Solution du 1er défi de juin :

Enoncé

La réponse est $18$ cm$^2$.

Comme $\widehat{ABC}= 90^{\circ}$, l’aire du triangle $ABC$ est :
\[ \frac{AB\times BC}{2} = \frac{3\times 4}{2}=\frac{12}{2}=6\,\mathrm{cm}^2. \]

PNG - 40.1 ko

Il reste donc à calculer l’aire du triangle $CDA$.

Par le théorème de Pythagore : $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25.$
Donc $AC=5$ cm. Le triangle $CDA$ est donc isocèle puisque $AC=CD=5$ cm.

Notons maintenant $M$ le milieu de $[AD]$. Puisque $CDA$ est isocèle, le segment $[CM]$ est perpendiculaire à la base $[AD]$. Le triangle $AMC$ est donc rectangle en $M$ avec $AC=5$ cm et $AM=3$ cm.

En utilisant à nouveau le théorème de Pythagore : $MC^2 = AC^2-AM^2= 16.$

Donc $MC=4$ cm. Donc l’aire du triangle $ADC$ est :
\[ \frac{AD\times MC}{2} = \frac{6\times 4}{2}=\frac{24}{2} = 12\,\mathrm{cm}^2. \]
Par conséquent, l’aire du quadrilatère $ABCD$ est $18\,\mathrm{cm}^2$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juin 2021, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Commentaire sur l'article

  • Juin 2021, 2e défi

    le 11 juin à 08:53, par Al_louarn

    $10^{2021} - 2 \times 4^{1010} = 2^{2021} \times 5^{2021} - 2^{2021}$
    $= 2^{2021}(5^{2021} - 1)$
    $= 2^{2021}(5 - 1)(1+5+5^2+...+5^{2020})$
    $= 2^{2023}(5^0+5^1+5^2+...+5^{2020})$

    Le facteur de droite est une somme de $2021$ puissances de $5$. C’est un nombre impair puisque $2021$ et $5$ sont impairs.
    La réponse est donc $2^{2023}$.

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