Un défi par semaine

Juin 2021, 3e défi

Le 18 juin 2021  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : « Le ciel dans tous ses états ».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette ­aventure.

Semaine 24

Notons $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$ les solutions de l’équation
\[x^4-2x^3-7x^2-2x+1=0.\]

Combien vaut :
\[ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} +\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}~? \]

Solution du 2e défi de juin :

Enoncé

La réponse est $2^{2023}$.

On peut commencer par factoriser l’expression :

\[ 10^{2021} - 2\times4^{1010} = 2^{2021} \times 5^{2021} - 2\times(2^2)^{1010} = 2^{2021} \times \left(5^{2021} - 1\right). \]

Or, à partir de $5^3=125$, les puissances impaires de $5$ se terminent par $125$ et toutes les puissances paires de $5$ se terminent par $~625$.

On le vérifie facilement en remarquant que les trois derniers chiffres de $5^{n+1}=5^n\times5$ sont les mêmes que les trois derniers chiffres du produit de $5$ avec les trois derniers chiffres de $5^n$.

Or $125\times5=625$ et $~625\times5=3125$, dont les trois derniers chiffres sont $~125$.

On en déduit que les trois derniers chiffres de $~5^{2021} - 1$ sont $~124$. Ce nombre s’écrit donc $~1000k+124$ pour un entier $k$. $~1000$ et $124$ étant divisibles par $~4$, il en est de même pour $~1000k+124$. Par contre, $~1000$ est divisible par $~8$ mais pas $~124$, donc $~1000k+124$ ne peut pas être divisible par $~8$.

Il s’ensuit que la plus grande puissance de $2$ divisant $10^{2021} - 2\times4^{1010}$ est $~2^{2021} \times 4 = 2^{2023}$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juin 2021, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Commentaire sur l'article

  • Juin 2021, 3e défi

    le 18 juin à 09:12, par Mihaela J

    [Aparté :
    Notons $f(x) = x^4 -2x^3 - 7x^2 -2x +1$
    Remarque : il y a des solutions qui ne sont pas entières, car $f(-1) = -1$, $f(0) = 1$ et $f(1) = 0$, donc on ne se lance pas dans des calculs des racines.]

    Si $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$ sont les solutions de l’équation, alors \[(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4) = x^4 -2x^3 - 7x^2 -2x +1\]

    On développe la partie gauche :
    $(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4) = (x^2 -(x_1 + x_2) + x_1 x_2) ( x^2 -(x_3 + x_4) + x_3 x_4) = \\ = x^4 - (x_1 + x_2 + x_3 + x_4) x^3 + (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_3 + x_2 x_4 + x_3 x_4) x^2 \\- (x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4) x + x_1 x_2 x_3 x_4$

    On déduit :\[x_1 x_2 x_3 x_4 = 1\] \[x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4 = 2\]

    On s’occupe de l’expression désirée en faisant l’addition

    \[ \displaystyle \frac{1}{x_1} + \displaystyle \frac{1}{x_3} + \displaystyle \frac{1}{x_3} + \displaystyle \frac{1}{x_4} = \displaystyle \frac{x_2 x_3 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_2 x_3}{ x_1 x_2 x_3 x_4} \]

    Alors \[ \displaystyle \frac{1}{x_1} + \displaystyle \frac{1}{x_3} + \displaystyle \frac{1}{x_3} + \displaystyle \frac{1}{x_4} = 2 \]

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    • Juin 2021, 3e défi

      le 18 juin à 12:23, par jokemath

      L’équation est, je crois que l’on dit, symétrique ou quelque-chose comme cela, c’est à dire que si a est une racine, alors 1/a est aussi une racine, donc les racines sont a, 1/a, b et 1/b, leur somme S vaut
      S = a + 1/a + b + 1/b, ou encore
      S = 1/a + a + 1/b + 1/b, ce qui correspond à la somme des inverses des racines, soit la valeur demandée.
      La somme des racines d’ une équation du 4ème degré est l’opposé du coefficient du terme de degré 3, ici c’est -2
      Donc la valeur demandée est S = 2.

      Remarque, 0 n’est pas une racine de l’équation puisque le terme constant n’est pas nul, donc il est correct d’évoquer l’inverse d’une racine.

      Répondre à ce message
      • Juin 2021, 3e défi

        le 25 juin à 12:08, par Niak

        En effet, le polynôme est (auto-)réciproque ou palindromique : $x^4 P\left(\frac{1}{x}\right)=P(x)$.
        On peut observer que $\frac{P(x)}{x^2}=x^2-2x-7-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}= \left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2-2\left(x+\frac{1}{x}\right)-7$. Ainsi en posant $X=x+\frac{1}{x}$, on se ramène à résoudre $X^2-2X-9=0$ (et cela peut se généraliser à tout polynôme palindromique de degré pair).
        On retrouve au passage la réponse ($2$) comme somme des racines en $X$ et donc opposé du coefficient de degré $1$ ($-2$).

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