Un défi par semaine

Juin 2021, 4e défi

El 25 junio 2021  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : «Le ciel dans tous ses états».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette ­aventure.

Semaine 25

Placer les entiers de $1$ à $5$ autour d’un cercle de telle façon qu’en sommant un certain nombre d’entiers placés consécutivement, on obtienne tous les entiers de $1$ à $15$.

Solution du 3e défi de juin :

Enoncé

La réponse est 2.

Puisque le polynôme $x^4-2x^3-7x^2-2x+1$ a pour racines $x_1$, $x_2$, $x_3$ et $x_4$, on a:
\[ x^4-2x^3-7x^2-2x+1=(x-x_1)(x-x_2)(x -x_3)(x-x_4). \]

En développant le terme de droite et en identifiant les coefficients, on en déduit que $x_1x_2x_3x_4=1$ et $x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=-(-2)=2$.

Par ailleurs:
\[ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} +\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}=\frac{x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4}{x_1x_2x_3x_4}, \]
donc:
\[ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} +\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}=\frac{2}{1}=2. \]

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Juin 2021, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

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  • Juin 2021, 4e défi

    le 26 de junio de 2021 à 16:11, par Christophe Boilley

    Il n’y a même pas besoin de vérifier qu’on obtient 8 et 9 : par complémentaire, elles sont obtenues dès lors qu’on réalise 7 et 6.
    Plus généralement, on peut se demander si le problème a une solution quel que soit le nombre n d’entiers choisi. Il suffit alors de vérifier qu’on peut réaliser toutes les sommes entre n+1 et n(n+1)/4.
    J’obtiens des solutions rapidement à la main pour n=6 et n=7. Un algorithme exhaustif devrait permettre de répondre pour les quelques valeurs suivantes de n, mais il va rapidement falloir ruser car le nombre de permutations nous donne une complexité factorielle.

    Répondre à ce message

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