Un défi par semaine

Juin 2021, 4e défi

Le 25 juin 2021  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
Lire l'article en  

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : « Le ciel dans tous ses états ».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette ­aventure.

Semaine 25

Placer les entiers de $1$ à $5$ autour d’un cercle de telle façon qu’en sommant un certain nombre d’entiers placés consécutivement, on obtienne tous les entiers de $1$ à $15$.

Solution du 3e défi de juin :

Enoncé

La réponse est 2.

Puisque le polynôme $x^4-2x^3-7x^2-2x+1$ a pour racines $x_1$, $x_2$, $x_3$ et $x_4$, on a :
\[ x^4-2x^3-7x^2-2x+1=(x-x_1)(x-x_2)(x -x_3)(x-x_4). \]

En développant le terme de droite et en identifiant les coefficients, on en déduit que $x_1x_2x_3x_4=1$ et $x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=-(-2)=2$.

Par ailleurs :
\[ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} +\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}=\frac{x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4}{x_1x_2x_3x_4}, \]
donc :
\[ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} +\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}=\frac{2}{1}=2. \]

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

Partager cet article

Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juin 2021, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Commentaire sur l'article

  • Juin 2021, 4e défi

    le 25 juin à 07:29, par ROUX

    13 avec 1+3+4+5 et 12 avec 5+4+2+1 imposent que 2 et 3 soient séparés par 1.
    11 avec 5+4+2 imposent que 4 soit voisin de 2.
    Une solution : 3 1 2 4 5.

    Répondre à ce message
  • Juin 2021, 4e défi

    le 25 juin à 12:13, par Celem Mene

    Voici une solution :

    1 2 3 4 5

    Vérifions : 1 - 5, chaque nombre individuellement ;

    6 : 5 + 1
    7 : 3 + 4
    8 : 5 + 1 + 2
    9 : 4 + 5

    Ensuite 10 à 14 : additionner quatre des nombres à chaque fois (10 : 1 + 2 + 3 + 4 ; 11 : 1 + 2 + 3 + 5 ; etc.)

    et enfin 15, tous les nombres.

    Répondre à ce message
    • Juin 2021, 4e défi

      le 25 juin à 14:03, par Niak

      Il est en effet suffisant de retrouver les nombres de $6$ à $9$ parmi les sommes de $2$ ou $3$ positions consécutives. En commençant par $1$ suivi du plus petit de ses deux voisins, on trouve $10$ solutions :

      12345
      12354
      12435
      12453
      12543
      13254
      13425
      13524
      14235
      14325

      Répondre à ce message
      • Juin 2021, 4e défi

        le 26 juin à 16:11, par Christophe Boilley

        Il n’y a même pas besoin de vérifier qu’on obtient 8 et 9 : par complémentaire, elles sont obtenues dès lors qu’on réalise 7 et 6.
        Plus généralement, on peut se demander si le problème a une solution quel que soit le nombre n d’entiers choisi. Il suffit alors de vérifier qu’on peut réaliser toutes les sommes entre n+1 et n(n+1)/4.
        J’obtiens des solutions rapidement à la main pour n=6 et n=7. Un algorithme exhaustif devrait permettre de répondre pour les quelques valeurs suivantes de n, mais il va rapidement falloir ruser car le nombre de permutations nous donne une complexité factorielle.

        Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?