Un défi par semaine

Juin 2021, 4e défi

Le 25 juin 2021  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : « Le ciel dans tous ses états ».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette ­aventure.

Semaine 25

Placer les entiers de $1$ à $5$ autour d’un cercle de telle façon qu’en sommant un certain nombre d’entiers placés consécutivement, on obtienne tous les entiers de $1$ à $15$.

Solution du 3e défi de juin :

Enoncé

La réponse est 2.

Puisque le polynôme $x^4-2x^3-7x^2-2x+1$ a pour racines $x_1$, $x_2$, $x_3$ et $x_4$, on a :
\[ x^4-2x^3-7x^2-2x+1=(x-x_1)(x-x_2)(x -x_3)(x-x_4). \]

En développant le terme de droite et en identifiant les coefficients, on en déduit que $x_1x_2x_3x_4=1$ et $x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=-(-2)=2$.

Par ailleurs :
\[ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} +\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}=\frac{x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4}{x_1x_2x_3x_4}, \]
donc :
\[ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} +\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}=\frac{2}{1}=2. \]

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juin 2021, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Commentaire sur l'article

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  • Juin 2021, 4e défi

    le 25 juin à 12:13, par Celem Mene

    Voici une solution :

    1 2 3 4 5

    Vérifions : 1 - 5, chaque nombre individuellement ;

    6 : 5 + 1
    7 : 3 + 4
    8 : 5 + 1 + 2
    9 : 4 + 5

    Ensuite 10 à 14 : additionner quatre des nombres à chaque fois (10 : 1 + 2 + 3 + 4 ; 11 : 1 + 2 + 3 + 5 ; etc.)

    et enfin 15, tous les nombres.

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