Juin 2021, 4e défi

Le 25 juin 2021 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : « Le ciel dans tous ses états ».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette aventure.

Semaine 25

Placer les entiers de $1$ à $5$ autour d’un cercle de telle façon qu’en sommant un certain nombre d’entiers placés consécutivement, on obtienne tous les entiers de $1$ à $15$.

Solution du 3e défi de juin :

Enoncé

La réponse est 2.

Puisque le polynôme $x^4-2x^3-7x^2-2x+1$ a pour racines $x_1$, $x_2$, $x_3$ et $x_4$, on a :
\[ x^4-2x^3-7x^2-2x+1=(x-x_1)(x-x_2)(x -x_3)(x-x_4). \]

En développant le terme de droite et en identifiant les coefficients, on en déduit que $x_1x_2x_3x_4=1$ et $x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=-(-2)=2$.

Par ailleurs :
\[ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} +\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}=\frac{x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4}{x_1x_2x_3x_4}, \]
donc :
\[ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} +\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}=\frac{2}{1}=2. \]

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

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Juin 2021, 4e défi

le 26 juin 2021 à 16:11, par Christophe Boilley

Il n’y a même pas besoin de vérifier qu’on obtient 8 et 9 : par complémentaire, elles sont obtenues dès lors qu’on réalise 7 et 6.
Plus généralement, on peut se demander si le problème a une solution quel que soit le nombre n d’entiers choisi. Il suffit alors de vérifier qu’on peut réaliser toutes les sommes entre n+1 et n(n+1)/4.
J’obtiens des solutions rapidement à la main pour n=6 et n=7. Un algorithme exhaustif devrait permettre de répondre pour les quelques valeurs suivantes de n, mais il va rapidement falloir ruser car le nombre de permutations nous donne une complexité factorielle.
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