Un défi par semaine

Juin 2022, 2e défi

Le 10 juin 2022  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (1)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2022 est en vente ! Il s’intitule : « Les maths, une aventure humaine ».

Toute une année pour partir à la découverte  de femmes et d’hommes qui, à  travers leur travail, leurs échanges, leur  génie  mais aussi leurs contradictions, ont  construit les mathématiques.

Semaine 23

La moitié des sommets d’un dodécaèdre régulier est coloriée en rouge et l’autre moitié en bleu. Une face est coloriée d’une couleur si au moins trois de ses sommets sont de cette couleur. Quel est le nombre minimal de faces rouges ?

Solution du 1er défi de juin 2022 :

Enoncé

Réponse : $-1$.

Remarquons tout d’abord que $x\neq 0$ car sinon, on aurait $\frac{1}{0+1}+\frac{1}{y+1} =1$, c’est-à-dire $\frac{1}{y+1} =0$, ce qui est impossible quelle que soit la valeur de $y$.

Maintenant, en mettant au même dénominateur l’expression $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1} =1$, et en prenant en compte le fait que $x\neq 0$, nous obtenons :
\[\begin{eqnarray*} \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1} & = & 1\\ \frac{y+1+x+1}{(x+1)(y+1)} & = & 1\\ x+y +2 & = & xy+ x+ y+ 1\\ y & = & \frac{1}{x}. \end{eqnarray*}\]
Par conséquent :
\[\begin{eqnarray*} \frac{1}{x-1}+\frac{1}{y-1} & = & \frac{1}{x-1}+\frac{1}{\frac{1}{x}-1} \\ & = & \frac{1}{x-1}+\frac{x}{1-x}\\ & = & \frac{1}{x-1}-\frac{x}{x-1}\\ & = & \frac{1-x}{x-1}= -1. \end{eqnarray*}\]

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2022 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juin 2022, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

Commentaire sur l'article

  • Juin 2022, 2e défi

    le 10 juin à 09:30, par Al_louarn

    On peut avoir seulement $2$ faces rouges si on choisit $2$ faces opposées (donc disjointes) dont on colorie tous les sommets en rouge. Ainsi on totalise $2 \times 5 = 10$ sommets rouges, ce qui fait bien la moitié des $20$ sommets du dodécaèdre. Toute autre face est voisine de l’une ou de l’autre mais pas les deux à la fois donc elle a exactement $2$ sommets rouges.
    Pour montrer qu’on ne peut pas faire mieux, on attribue à chaque face un poids égal au nombre de ses sommets rouges. La somme des poids est $10 \times 3 = 30$ car chaque sommet est commun à $3$ faces, et il y a $10$ sommets rouges. Supposons qu’il y ait au moins $11$ faces bleues. Alors la somme de leurs poids est au plus $11 \times 2 = 22$. La douzième face aurait alors au moins $30 - 22 = 8$ sommets rouges sur $5$, ce qui est absurde.
    Conclusion : il y a au moins $2$ faces rouges.

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