Un défi par semaine

Juin 2022, 3e défi

Le 17 juin 2022  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (1)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2022 est en vente ! Il s’intitule : « Les maths, une aventure humaine ».

Toute une année pour partir à la découverte  de femmes et d’hommes qui, à  travers leur travail, leurs échanges, leur  génie  mais aussi leurs contradictions, ont  construit les mathématiques.

Semaine 24

Le côté de l’octogone mesure $1$ cm. Quelle est la différence entre l’aire de la région rouge et celle de la région jaune ?

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Solution du 2e défi de juin 2022 :

Enoncé

Chaque face est un pentagone et a cinq sommets. Comme les sommets sont soit rouges, soit bleus, il y a toujours au moins trois sommets d’une des deux couleurs. Ainsi, toutes les faces sont coloriées. Un dodécaèdre régulier a 12 faces et chaque sommet appartient à trois faces, donc il y a au total $\frac{12\times 5}{3}=20$ sommets. Il y a donc dix sommets rouges et dix sommets bleus.

Dans la figure, on donne une représentation d’un dodécaèdre aplati dans laquelle on voit 11 faces, la dernière étant derrière. Les sommets marqués sont rouges. Observons qu’il y a deux faces rouges : la face au centre de la figure et la face cachée. Il y a donc une coloration des sommets pour laquelle il n’y a que deux faces rouges.

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Voyons qu’il n’est pas possible d’avoir une coloration des sommets qui donne une seule face rouge. Si une telle coloration existe, les 11 autres faces sont bleues et chacune a au moins trois sommets bleus. Soit $B$ l’ensemble des sommets bleus de ces 11 faces. Comme chaque sommet bleu appartient à au plus trois parmi les 11 faces bleues, on a au moins $\frac{11\times 3}{3}=11$ sommets bleus, ce qui est impossible. Donc il y a au moins deux faces rouges.

Réponse : deux faces.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2022 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juin 2022, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

Commentaire sur l'article

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  • Juin 2022, 3e défi

    le 17 juin à 09:17, par Al_louarn

    Les 2 rectangles rouges et les 2 rectangles oranges sont tous égaux donc il suffit de comparer le carré central rouge aux 3 triangles oranges. Or si on trace les diagonales du carré on le découpe en 4 triangles égaux aux triangles oranges, car ce sont tous des triangles rectangles isocèles avec une hypothénuse de 1 cm). Donc la différence entre l’aire rouge et l’aire orange est un quart de celle du carré, soit un quart de centimètre carré.

    Répondre à ce message

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