Enoncé

Chaque face est un pentagone et a cinq sommets. Comme les sommets sont soit rouges, soit bleus, il y a toujours au moins trois sommets d’une des deux couleurs. Ainsi, toutes les faces sont coloriées. Un dodécaèdre régulier a 12 faces et chaque sommet appartient à trois faces, donc il y a au total $\frac{12\times 5}{3}=20$ sommets. Il y a donc dix sommets rouges et dix sommets bleus.

Dans la figure, on donne une représentation d’un dodécaèdre aplati dans laquelle on voit 11 faces, la dernière étant derrière. Les sommets marqués sont rouges. Observons qu’il y a deux faces rouges: la face au centre de la figure et la face cachée. Il y a donc une coloration des sommets pour laquelle il n’y a que deux faces rouges.

Voyons qu’il n’est pas possible d’avoir une coloration des sommets qui donne une seule face rouge. Si une telle coloration existe, les 11 autres faces sont bleues et chacune a au moins trois sommets bleus. Soit $B$ l’ensemble des sommets bleus de ces 11 faces. Comme chaque sommet bleu appartient à au plus trois parmi les 11 faces bleues, on a au moins $\frac{11\times 3}{3}=11$ sommets bleus, ce qui est impossible. Donc il y a au moins deux faces rouges.

Réponse : deux faces.