Un défi par semaine

Juin 2014, 2ème défi

Le 13 juin 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (5)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 24 :

La valeur absolue du nombre $x$ se note $|x|$. Par exemple, $|5|=|-5|=5$.
Combien de nombres réels $x$ satisfont l’équation

$|||||x-1|-2|-3|-4|-5|=0$ ?

Solution du 1er défi de Juin

Enoncé

La réponse est oui.

Commençons par un damier de $2\times 2$. Une manière de le construire est

Maintenant nous allons construire un damier de $4\times 4$. Pour ce faire, nous utiliserons le damier de $2\times 2$. Pour que les sommes obtenues continuent à être distinctes, rajoutons des $1$ et des $-1$ de la façon suivante

Pour compléter le damier, il suffit d’inclure le damier de $2\times 2$ que nous avons construit, mais en l’inversant

Observons que nous pouvons construire un damier de $(2k+2)\times (2k+2)$ à partir d’un damier de $2k \times 2k$. Dans le damier de $2k \times 2k$ les sommes seront égales à $-(2k-1)$, $-(2k-2)$,$\dots$, $-(2k-(2k-1))$, $0$, $\ldots, 2k$. Donc, pour construire un damier de $(2k+2)\times (2k+2)$ on place un damier de $2k \times 2k$ dans la partie supérieure gauche, ensuite on dispose les nombres $1$ dans les $2k$ premières cases de la $(2k+1)$-ième ligne et dans les $2k$ premières cases de la $(2k+1)$-ième colonne et les nombres $-1$ dans les $2k$ premières cases de la $(2k+2)$-ième ligne et dans les $2k$ premières cases de la $(2k+2)$-ième colonne. Finalement, on place le damier de $2\times 2$ qu’on a construit au début, mais avec les lignes inversées.

On voit que les sommes des nombres des $(2k+2)$ colonnes et des $(2k+2)$ lignes du damier de $(2k+2)\times (2k+2)$ vont de $-(2k+1)$ à $(2k+2)$. De cette manière on a tous les nombres de $-(2k+1)$ à $2k+2$. Ainsi, il est possible de construire un damier de $2n\times 2n$ pour tout entier positif $n$. En particulier, il est possible de construire un damier de $1000\times 1000$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juin 2014, 2ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - Un nœud et sa surface de Seifert, par Jos Leys

Commentaire sur l'article

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  • Juin, 2ème défi

    le 17 juin 2014 à 11:01, par projetmbc

    Bonjour ?

    Existe-t-il une page réunissant tous les défis posés ? En tant que profs du Lycée, il y a pas mal de choses intéressantes que j’aimerais proposer en « défi » à mes élèves.

    Répondre à ce message

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