Un desafío por semana

Julio 2014, segundo desafío

El 11 julio 2014  - Escrito por  Ana Rechtman
El 10 julio 2014
Artículo original : Juillet 2014, 2ème défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2014. Su solución aparecerá cuando se publique el siguiente desafío.

Semana 28:

En un paralelógramo se marca los puntos medios de los lados y el centro del paralelógramo. Se considera después todos los triángulos cuyos vértices se encuentran entre los puntos marcados anteriormente. En cada triángulo se marca ahora los puntos medios de los lados y los puntos medios de las medianas. ¿Cuántos puntos marcados habrá en total?

Solución del primer desafío de julio

Enunciado

La respuesta es $12$ .

Llamemos $ x $ la suma de las cifras que están en las posiciones impares del número con cinco cifras, e $ y $ la suma de las cifras en las posiciones pares. Observemos que para que el número sea divisible por $ 11$, el valor de $ x-y $ debe ser igual a $ -11$, $ 0 $ u $ 11$, pero como $ x+y=1+2+4+7+9=23$, se obtiene que $ x-y=-11$ o $ x-y=11$.

Si $ x-y= -11 $ se tiene que $ (x-y)-(x+y)=-2y=-34 $, por lo que $ y=17 $. Como $ y $ es la suma de dos de las cifras en posiciones pares, $ y\leq 9+7=16$. Por lo tanto, no es posible tener $ x-y=-11 $ .

Si $ x-y=11 $ se tiene que $ (x-y)+(x+y)=2x=34$, de donde $ x=17$. Por lo tanto, los tres números en las posiciones impares son $ 1$, $ 7$ y $ 9$, en un orden cualquiera, y en las posiciones pares se encuentran el $ 2$ y el $ 4$. Hay seis posibilidades para colocar $1, 7, 9 $, y dos para $2,4$. Hay por lo tanto $ 6 \times 2=12 $ múltiplos de $ 11 $ formados con esas cifras.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2014 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Étienne Ghys - Ilustraciones: Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

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Para citar este artículo:

— «Julio 2014, segundo desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - ’’Proyección estereográfica’’, por Jos Leys.

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